题解 洛谷P2568 GCD
\(update\ \ \ 2018/11/18\)修改了\(Letex\)，其他没有变
中间我\(AFO\)了,成功从红名掉到了蓝名
\(update 2019/7/22\)加了很多自己学文化课时的感悟
听说有一句话数论只会\(GCD\)，所以我翻开了此题，却发现这题并不是这么简单
所以就写篇题解吧(废话真多)
先介绍一个东西：欧拉函数
定义： 对于正整数\(n\),小于或等于\(n\),且与\(n\)互质的正整数(包括1)的个数，记作\(φ(n)\)。(\(φ(1)=1\))
写成数学公式就是\(φ(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n1(gcd(i,n)=1)\)
那么答案是什么呢？
我们考虑每个质数\(p\)对答案的贡献,对于每一个质数\(p\)
\(gcd(x,y)=1\)等价于\(gcd(a*p,b*p)=p\)
所以\(gcd(x,y)\)为\(p\)的数对个数即为\(1<=a,b<= \frac{n}{p}\)中互质对\(a,b\)的个数,其中不妨令\(a<=b\)
对于每一个\(b,a\)有\(φ(b)\)个取值使\(a,b\)互质，及\(gcd(a*p,b*p)=p\)
所以此题答案就是\(\displaystyle\sum_{i=1}^n φ(i)\)
先介绍一些\(φ(n)\)的性质：
积性函数(常见的有)
$ε(n)=[n==1]\ \ \ \ \ \ \ d(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1\ \ \ \ \ \ \ σ(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d $
$ μ(n)=[max(c_1,c_2,...c_m)<=1]*(-1)^m$
当然，还有\(φ(n)\)喽
积性函数的性质：若\(gcd(a,b)==1\)则\(f(a\times b)=f(a)\times f(b)\)
\(φ(n)\)的其他性质
1.若\(p\)为质数\(φ(p)=p-1\)
2.若\(p|n\)且\(p^2|n\)，则\(φ(n)=φ(n/p)\times p\)
3.若\(p|n\)但是不满足\(p^2|n\)，则\(φ(n)=φ(n/p)\times (p-1)\)
4.\(\displaystyle\sum_{d|n}φ(d)=n\)
所以，现在问题就转化为了怎样快速求\(φ(n)\)
可以联想到欧拉筛法，因为可以在\(O(n)\)的时间内求出所有质数。
若对于\(i\)，如果已知所有的\(1-i\) 的\(φ\)，枚举\(<=i\)的质数\(p[j]\)，可以求得\(φ(x\times p[j])\)
1.若\(p[j]\)与\(x\)互质 \(φ(x*p[j])=φ(x)*φ(p[j])\)
2.若不互质，设\(x=t*p[j]^k\)
\(φ(x*p[j])=φ(t*p[j]^{k+1})=φ(t)*φ(p[j]^{k+1})\)\(=φ(t)*φ(p[j]^k)*p[j]=φ(x)*p[j]\)
所以，预处理\(φ(i)\)的代码：
for (int i=2;i<=n;++i){
if (is_prime[i]) phi[i]=i-1,prime[++prime_num]=i;
for (int j=1;j<=prime_num&&prime[j]*i<=n;++j){
is_prime[prime[j]*i]=0;
if (__gcd(prime[j],i)==1) phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
else phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
做一下前缀和就可以了
最后提醒一句，\(10\)年\(OI\)一场空，不开\(long\ long\)见祖宗
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=10000005;
bool is_prime[N];
int n,prime_num,prime[N],phi[N];
long long sum[N];
int main(){
scanf("%d",&n);
memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
is_prime[1]=0;phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i){
if (is_prime[i]) phi[i]=i-1,prime[++prime_num]=i;
for (int j=1;j<=prime_num&&prime[j]*i<=n;++j){
is_prime[prime[j]*i]=0;
if (__gcd(prime[j],i)==1) phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];
else phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
for (int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
long long ans=0;
for (int i=1;i<=prime_num&&prime[i]<=n;++i)
ans+=(sum[n/prime[i]]<<1)-1;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
