数论

前言：OI-WiKi 和知乎里都讲得挺好，如果哪里没理解一定要弄懂，这里只是总结归纳。

1. 唯一分解定理等

约束个数：

约束和：

2. 欧拉函数

$φ (n)$ 表示 $n$ 以内与 $n$ 互质的数的个数。

式子

φ (n) = n \times \prod_{i = 1}^{k} \times (1 - \frac{1}{p_{i}})

性质

$φ (1) = 1$ .
若p是一个素数，则 $φ (p) = p - 1$ .
若p是一个素数，则 $φ (p^{k}) = (p - 1) * p^{k - 1}$ .
对于任意两个正整数 $a, b$ , 且 $g c d (a, b) = 1$ ,则 $φ (a * b) = φ (a) * φ (b)$ .特别的，对于奇数n $φ (2 n) = φ (n)$ .

变形

p为素数，若 $n % p = 0$ , 则 $φ (n * p) = p * φ (n)$ .
p为素数，若 $n % p \neq p$ , 则 $φ (n * p) = (p - 1) * φ (n)$ .
与 $n$ 互质的数都是成对出现的，且每对的和为 $n$ ,所以大于2的数的 $φ (n)$ 都为偶数.

代码

 int phi_(int n) 
{
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++) 
	{
		if(n%i==0) 
		{
			ans=ans-ans/i;
			while(n%i==0)
			{
				n/=i;
			}
		}
	}
	if(n>1) ans=ans-ans/n;
	return ans;
}
int phi[maxn], cnt, p[maxn], vis[maxn];
void get_phi(int n)//求1到n的所有欧拉函数值 
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			p[cnt++]=i;//质数 
			phi[i]=i-1;//质数i的欧拉函数为i-1 
		}
		for(int j=0;i*p[j]<=n;j++)
		{
			int m=i*p[j];
			vis[m]=1;
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[m]=p[j]*phi[i];
				break;
			}
			else phi[m]=(p[j]-1)*phi[i];
		}
	} 
}

3. 欧拉定理

若 $g c d (a, m) = 1$ , 则 $a^{φ (m)} \equiv 1 (m o d$ $m)$ 。

4. 费马小定理（要求模数为素数）

若 $m$ 为素数，对于任意整数 $a$ ,有 $a^{m} \equiv a (m o d$ $a)$ .

特殊的，若 $m$ 为素数， $g c d (a, m) = 1$ , 则 $a^{m - 1} \equiv 1 (m o d$ $m)$ .

5. 扩展欧拉定理

$a^{b} = {\begin{cases} a^{b m o d φ (p)} & g c d (a, p) = 1 \\ a^{b} & g c d (a, p) \neq 1, b ＜ φ (p) (m o d p) \\ a^{b m o d φ (p) + φ (p)} & g c d (a, p) \neq 1, b \geq φ (p) \end{cases}$

代码就不展示了

6. 扩展欧几里得

用于求 $a x + b y = g c d (a, b)$ 或者 $a x \equiv b (m o d p)$ 的一组整数解。

link:https://oi-wiki.org/math/number-theory/linear-equation/

这个真的非常重要。

构造通解

${\begin{cases} x = x_{0} + \frac{b}{g c d (a, b)} \\ y = y_{0} - \frac{a}{g c d (a, b)} \end{cases}$
(考虑 $a x + b y = 0$ 的构造）

示例

求不定方程 $a x + b y = c$ 的一组整数解。

若 $g c d (a, b)$ 能被 $c$ 整除，则有整数解。
先用扩展欧几里德求 $a x + b y = g c d (a, b)$ 的解，再乘以 $c / g c d (a, b)$ ，即得原方程特解 $(x 0, y 0)$ 。
若 $g c d (a, b)$ 不能被 $c$ 整除，则无整数解。

代码

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
   	{
    	x=1;
       	y=0;
        return ;   	
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    int k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
    return ans;
}

函数返回值为gcd，
$x, y$ 初值为0。

7. 乘法逆元

若 $a \times x \equiv 1 (m o d b)$ , 则称 $x$ 为 $a$ 在模 $b$ 意义下的乘法逆元，记为 $a^{- 1}$ .

注意：并非所有的情况下都存在乘法逆元，当 $g c d (a, b) = 1$ 时，存在乘法逆元。

用法

求 $(a / b) % p$ 等同于求 $a \times (b$ 的逆元 $) % p$ . (证明见老师ppt）

代码

下列p均为模数。

费马小定理求逆元（p为素数）

 qpow(a, p-2, p);

线性求逆元

 ny[1]=1;
for(int i=2;i<p;i++)
{
	ny[i]=(long long)(p-p/i)*ny[p%i]%p;
}

扩展欧几里得求逆元

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    int k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
    return ans;
}
 
if(exgcd(b, p, x, y)==1)
	cout<<(x%p+p)%p;
else
	cout<<-1;

8. 组合数

$f [i]$ 存 $i!$ 的值。

$g [i]$ 存 $x!$ 的逆元的值。

也都挺好理解的。

代码

 int qpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res=res*a%mod;        
        }
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void init()
{
    f[0]=g[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        f[i]=(f[i-1]*i)%mod;
        g[i]=(g[i-1]*qpow(i, mod-2))%mod;
    }
}
int getC(int n, int m)
{
	if(n<m||m<0) 
	{
		return 0;
	}
    return f[n]*g[m]%mod*g[n-m]%mod;
}

假如时间复杂度很紧，建议将预处理函数换成以下写法：

 inline void init(int n)
{
	f[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]*i%mod;
	}
	g[n]=qpow(f[n], mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}

掉过的坑：

如果无输出，很可能是N的值太大了。
如果输出为0，很可能没有使用init（）。
如果模数很小，要考虑lucas定理。
当没有模数的时候，直接用组合的公式即可（ $f [n] / f [m] % p / f [n - m] % p$ ）。
如果不明情况TLE或RE，可以考虑换写法。

补充

可以用杨辉三角推出这样一个式子：

c [i] [j] = c [i - 1] [j - 1] + c [i - 1] [j];

$c [i] [j]$ 表示从i个数里选j个的方案数。

就像这样子：

 void init()
{
	for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
		}
	}
}

9. 错排问题

虽然课件里没有（好像有），但还是挺有意义的，记一下吧。

概要：有 $n$ 个元素和 $n$ 个位置，要求每一个元素都在错误的位置上的方案数（ $D (N)$ ）。（比如数列 $1, 2, 3$ , 错排方案有 ( $2, 1, 3$ ), ( $3, 1, 2$ ) 两种。）

然后通项公式为 $D [i] = (i - 1) \times (D [i - 1] + D [i - 2])$ .

证明见这篇博客。

代码：直接预处理出d数组即可。

10. lucas 定理

当p是一个不大的质数时，
$C_{n}^{m} \equiv C_{n / p}^{m / p} \times C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$

证明见老师ppt。

代码

 int lucas(int n,int m, int p)
{
	if(m==0) return 1;
	return lucas(n/p, m/p, p)*getC(n%p, m%p, p)%p;
}

11. 二项式反演

记 $f_{n}$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数， $g_{n}$ 表示从 $n$ 个不同元素中选出 $i \geq 0$ 个元素形成特定结构的总方案数。

若已知 $f_{n}$ 求 $g_{n}$ ，那么显然有：

g_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f_{i}

若已知 $g_{n}$ 求 $f_{n}$ ，那么：

f_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (- 1)^{n - i} g_{i}

上述已知 $g_{n}$ 求 $f_{n}$ 的过程，就称为 二项式反演。

二项式反演（里面有形式总结和例题）

12. 波动数列

~~貌似不是数论？？~~

波动数列：字面意思，每个元素大小波动起伏的数列。（其实我也不知道这是个什么数列，如果有明确定义麻烦告诉我）

性质

在一个波动数列中，若两个 $i$ 与 $i + 1$ 相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列。
把波动数列中的每个数字 $a [i]$ 变成 $(n + 1) - a [i]$ 会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反。
波动序列有对称性。

13. CRT/中国剩余定理

小学奥数---------韩信点兵

规范一点：

crt就是求解如下形式一元线性同余方程组

${\begin{cases} x \equiv r_{1} (m o d m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (m o d m_{2}) \\ . . . . . . \\ x \equiv r_{n} (m o d m_{n}) \end{cases}$

求x的最小整数解。其中模数两两互质。

过程+证明见老师ppt。

代码

 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
   	{
    	x=1;
       	y=0;
        return ;   	
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
int crt(int m[], int r[])
{
	int M=1, ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) M=lcm(M, m[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int c=M/m[i], x, y;
		exgcd(c, m[i], x, y);
		ans=(ans+r[i]*c*x%M)%M;
	}
	return (ans%M+M)%M;
}

那么对于模数不互质时，

14. EXCRT/扩展中国剩余定理

就是在crt的基础上不保证模数两两互质。

 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
   	{
    	x=1;
       	y=0;
        return a;   	
    }
    int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return ans;
}
int excrt(int m[], int r[])
{
	int m1, m2, r1, r2, p, q;
	m1=m[1], r1=r[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		m2=m[i], r2=r[i];
		int d=exgcd(m1, m2, p, q);
		if((r2-r1)%d) return -1;//无解
		p=p*(r2-r1)/d;
		p=(p%(m2/d)+m2/d)%(m2/d);
		r1=m1*p+r1;
		m1=m1*m2/d;
	}
	return (r1%m1+m1)%m1;
}

关于CRT的用处：将不是质数的模数分解，最后crt合并。注意数组大小以及循环变量的大小。

15. 卡特兰数

upd on. 24.7.27

为了不让它成为遗忘的过去，我一定要再学一遍！

卡特兰数时一个用于计数问题的序列，就像斐波那契数列一样，它的前几项是： $1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862. . . . . .$ (遇到不会的计数题可以自己手算一下前几项的值，如果和卡特兰数一样的话直接套公式啦！)

通项公式

$H_{n} = C_{2 n}^{n} - C_{2 n}^{n - 1}$
$H_{n} = \frac{C_{2 n}^{n}}{n + 1}$
$H_{n} = \frac{4 n - 2}{n + 1} H_{n - 1}$

递推式

$H_{n} = H_{0} * H_{n - 1} + H_{1} * H_{n - 2} + . . . + H_{n - 1} * H_{0}$

特征

一种操作数不能超过另一种操作数、两种操作不能有交集、给定一个移动范围，通常是卡特兰数。

16. Prufer序列

$p r u f e r$ 序列是将一棵无根树转化为一个长度为 $n - 2$ 的序列。其中序列的值是无根树除叶节点的节点。

具体操作

（1）每次选择编号最小的叶节点，将它和它与父节点的连边删去，将它的父节点存入序列。

（2）循环操作（1），直至无根树里仅剩两个节点。

代码

将无根树转换为 $p r u f e r$ 序列：

 void solve1()
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		cin>>f[i];
		deg[f[i]]++;
	}
	int cur=1;//最小叶节点 
	for(int i=0;i<=n-2;)
	{
		while(deg[cur])
		{
			cur++;	
		}
		p[++i]=f[cur];
		while(!--deg[p[i]]&&p[i]<cur)
		{
			p[i+1]=f[p[i]];
			i++;
		}
		cur++;
	}	
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
		ans^=(1ll*i*p[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}

将无根树转换为 $p r u f e r$ 序列：

 void solve2()
{
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
		cin>>p[i];
		deg[p[i]]++; 
	}
	int cur=1;
	for(int i=0;i<=n-2;)
	{
		while(deg[cur])
		{
			cur++;	
		}
		f[cur]=p[++i];
		while(!--deg[p[i]]&&p[i]<cur)
		{
			f[p[i]]=p[i+1];
			i++;
		}
		cur++;
	}	
	f[p[n-2]]=n;
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		ans^=(1ll*i*f[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}

时间复杂度为 $O (n)$ 。

性质

$p r u f e r$ 序列与无根树一一对应。
度数为 $d [i]$ 的节点在 $p r u f e r$ 序列中出现 $d [i] - 1$ 次。
一个 $n$ 个节点的完全图的生成树个数为 $n^{n - 2}$ 。
对于给定度数为 $d_{1 \sim n}$ 的无根树有 $\frac{(n - 2)!}{∐_{i = 1}^{n} (d [i] - 1)!}$ 种情况。

17. Bsgs算法

给定整数 $a, b, p$ , $a, p$ 互质。
求满足 $a^{x} \equiv b (m o d p)$ 的最小非负整数 $x$ 。

具体操作

由扩展欧拉定理 $a^{x} \equiv a^{x m o d φ (p)} (m o d p)$ 可知 $a^{x}$ 模p意义下的最小循环节为 $φ (p)$ ,因为 $φ (p) < p$ ,在0~p范围内，一定能找到最小的 x。

令 $x = i m - j$ ,其中 $m = c e i l (\sqrt{p})$ , $i$ 在 $1 至 m$ 范围内， $j$ 在 $0 至 m - 1$ 范围内。

则 $a^{i m - j} \equiv b (m o d p)$ , 即 $(a^{m})^{i} \equiv b a^{j}$ 。

先枚举j，把( $b a^{j}, j$ )丢入哈希表，结果相同，则取较大的j。
再枚举i，计算 $(a^{m})^{i}$ ,到哈希表中查找是否有相等值，找到第一个结束。最小的 $x = i m - j$ 。

代码

 int bsgs(int a,int b,int p)
{
	a%=p;
	b%=p;
	if(b==1) return 0;
	int m=ceil(sqrt(p)),t=b;
	h[b]=0;
	for(int i=1;i<m;i++)
	{
		t=t*a%p;
		h[t]=i;
	}
	int mi=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		mi=mi*a%p;
	}
	t=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		t=t*mi%p;
		if(h.count(t))
			return i*m-h[t];
	}
	return -1;
}

时间复杂度为 $O (\sqrt{p})$ 。

18. exBsgs算法

假如 $a, p$ 不互质，那怎样求 $a^{x} \equiv b (m o d p)$ ？

$戳我$

这个思路挺好想的，代码如下：

代码

 int inv(int a,int p)
{
	int x=0, y=0;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x%p+p)%p; 
}
int exbsgs(int a,int b,int p)
{
	a%=p, b%=p;
	if(b==1||p==1) return 0;
	if(!a)
	{
		if(b) return -1;
		return 1;
	}
	int k=0, t=1;
	while(__gcd(a, p)!=1)
	{	
		int gcd=__gcd(a, p);
		if(b%gcd) return -1;
		++k, b/=gcd, p/=gcd, t=t*(a/gcd)%p;
		if(t==b) return k;
	}
	int ans=bsgs(a, b*inv(t, p)%p, p);
	if(ans==-1) return -1;
	return ans+k;
}

posted @ 2024-08-18 14:54 zhouyiran2011 阅读(16) 评论(0) 编辑收藏举报

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	int phi_(int n)
	{
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
	if(n%i==0)
	{
	ans=ans-ans/i;
	while(n%i==0)
	{
	n/=i;
	}
	}
	}
	if(n>1) ans=ans-ans/n;
	return ans;
	}
	int phi[maxn], cnt, p[maxn], vis[maxn];
	void get_phi(int n)//求1到n的所有欧拉函数值
	{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
	if(!vis[i])
	{
	p[cnt++]=i;//质数
	phi[i]=i-1;//质数i的欧拉函数为i-1
	}
	for(int j=0;i*p[j]<=n;j++)
	{
	int m=i*p[j];
	vis[m]=1;
	if(i%p[j]==0)
	{
	phi[m]=p[j]*phi[i];
	break;
	}
	else phi[m]=(p[j]-1)*phi[i];
	}
	}
	}

	void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
	{
	if(b==0)
	{
	x=1;
	y=0;
	return ;
	}
	exgcd(b, a%b, x, y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	}

	int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
	{
	if(b==0)
	{
	x=1;
	y=0;
	return a;
	}
	int ans=exgcd(b, a%b, x, y);
	int k=x;
	x=y;
	y=k-a/b*y;
	return ans;
	}

	ny[1]=1;
	for(int i=2;i<p;i++)
	{
	ny[i]=(long long)(p-p/i)*ny[p%i]%p;
	}

	int qpow(int a,int b)
	{
	int res=1;
	while(b)
	{
	if(b&1)
	{
	res=res*a%mod;
	}
	a=a*a%mod;
	b>>=1;
	}
	return res;
	}
	void init()
	{
	f[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;i++)
	{
	f[i]=(f[i-1]*i)%mod;
	g[i]=(g[i-1]*qpow(i, mod-2))%mod;
	}
	}
	int getC(int n, int m)
	{
	if(n<m\|\|m<0)
	{
	return 0;
	}
	return f[n]g[m]%modg[n-m]%mod;
	}

	inline void init(int n)
	{
	f[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	f[i]=f[i-1]*i%mod;
	}
	g[n]=qpow(f[n], mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
	g[i]=g[i+1]*(i+1)%mod;
	}
	}

	void init()
	{
	for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
	for(int j=1;j<=i;j++)
	{
	c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
	}
	}
	}

	int lucas(int n,int m, int p)
	{
	if(m==0) return 1;
	return lucas(n/p, m/p, p)*getC(n%p, m%p, p)%p;
	}

	void solve1()
	{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
	cin>>f[i];
	deg[f[i]]++;
	}
	int cur=1;//最小叶节点
	for(int i=0;i<=n-2;)
	{
	while(deg[cur])
	{
	cur++;
	}
	p[++i]=f[cur];
	while(!--deg[p[i]]&&p[i]<cur)
	{
	p[i+1]=f[p[i]];
	i++;
	}
	cur++;
	}
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
	ans^=(1llip[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	}

	void solve2()
	{
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
	cin>>p[i];
	deg[p[i]]++;
	}
	int cur=1;
	for(int i=0;i<=n-2;)
	{
	while(deg[cur])
	{
	cur++;
	}
	f[cur]=p[++i];
	while(!--deg[p[i]]&&p[i]<cur)
	{
	f[p[i]]=p[i+1];
	i++;
	}
	cur++;
	}
	f[p[n-2]]=n;
	ans=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
	ans^=(1llif[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	}

	int bsgs(int a,int b,int p)
	{
	a%=p;
	b%=p;
	if(b==1) return 0;
	int m=ceil(sqrt(p)),t=b;
	h[b]=0;
	for(int i=1;i<m;i++)
	{
	t=t*a%p;
	h[t]=i;
	}
	int mi=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	mi=mi*a%p;
	}
	t=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	t=t*mi%p;
	if(h.count(t))
	return i*m-h[t];
	}
	return -1;
	}

	int inv(int a,int p)
	{
	int x=0, y=0;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x%p+p)%p;
	}
	int exbsgs(int a,int b,int p)
	{
	a%=p, b%=p;
	if(b==1\|\|p==1) return 0;
	if(!a)
	{
	if(b) return -1;
	return 1;
	}
	int k=0, t=1;
	while(__gcd(a, p)!=1)
	{
	int gcd=__gcd(a, p);
	if(b%gcd) return -1;
	++k, b/=gcd, p/=gcd, t=t*(a/gcd)%p;
	if(t==b) return k;
	}
	int ans=bsgs(a, b*inv(t, p)%p, p);
	if(ans==-1) return -1;
	return ans+k;
	}

zhouyiran2011

Merry-Go-Round of Life.

数论

1. 唯一分解定理等

2. 欧拉函数

式子

性质

变形

代码

3. 欧拉定理

4. 费马小定理（要求模数为素数）

5. 扩展欧拉定理

6. 扩展欧几里得

构造通解

示例

代码

7. 乘法逆元

用法

代码

8. 组合数

代码

补充

9. 错排问题

10. lucas 定理

代码

11. 二项式反演

12. 波动数列

性质

13. CRT/中国剩余定理

代码

14. EXCRT/扩展中国剩余定理

15. 卡特兰数

通项公式

递推式

特征

16. Prufer序列

具体操作

代码

性质

17. Bsgs算法

具体操作

代码

18. exBsgs算法

代码

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