DP学习笔记
动态规划算法与分治法类似，是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
动态规划做题思路：
-
考虑\(dp\)数组每一维状态表示什么
-
初始化，如果要取\(min\)，\(dp\)数组要赋较大的值。\(dp[0]\)的值也要考虑
-
想转移顺序，逆序or正序。具体想\(i,j\)的范围
-
想状态转移方程（重点）
-
想最终结果，一般都表示为\(dp[n][m]\)之类的。。。
PS.由于作者做题经验不足且很懒，有些地方直接就放其他大佬（orz）的博客了，请见谅。
1.线性dp
定义：线性\(DP\)是动态规划问题中的一类问题，指状态之间有线性关系的动态规划问题。（来自百度）这些都是没用的不要看
线性\(dp\)有很多划分方式。一维线性\(dp\)中，\(dp[i]\)一般表示为以\(i\)结尾的最优方案，状态转移方程基本为$$ dp[i]=\max(dp[i], dp[j]+1)$$
最终结果为\(dp[n]\)。
其实也就是for for if。。。
例1：最长上升子序列（划重点）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[50005], f[50005], ans, x, t;
int main()
{
cin>>n;
while(cin>>x)
{
t++;
a[t]=x;
if(cin.get()=='\n')
{
break;
}
}
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
f[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(a[i]>a[j]&&f[i]<f[j]+1)
{
f[i]=f[j]+1;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=max(ans, f[i]);
}
cout<<ans;
return 0;
}
比较好理解。
例2：合唱队形
思路：先来一遍最长上升子序列，再来一遍最长不上升子序列，最后枚举求值（题解）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans, n, a[500005], dp1[500005], dp2[500005];
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp1[i]=1;
dp2[i]=1;
}
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(a[i]>a[j])
{
dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1);
}
}
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
dp2[i]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
if(a[i]>a[j])
{
dp2[i]=max(dp2[i],dp2[j]+1);
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=max(ans,dp1[i]+dp2[i]-1);
}
cout<<n-ans;
return 0;
}
2.区间dp
很惊讶以前甚至都没有写区间dp的总结。
简而言之，这种dp一般开二维，枚举区间，枚举断点，合并求值。（如 \(dp[i][j]\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 这个区间的极值，最后输出 \(dp[1][n]\) (n为区间长度））
模版代码：
for(int len=1;len<=n;len++)
{
for(int i=1;i<=n-len+1;i++)
{
int j=i+len-1;
for(int k=i;k<j;k++)
{
//状态转移方程
}
}
}
例题：
一些套路:
- 基本都有枚举断点、合并的操作。状态转移方程：\(dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j]\)。
- 除了上一条之外，还可以从两边的端点扩展，或者同时扩展。具体根据题目改变。状态转移方程：\(dp[i][j]=\max/\min(dp[i+1][j]+a[i],dp[i][j-1]+a[j],dp[i+1][j-1]+a[i]+a[j])\)。
- 转移的时候往往要分类讨论，或者判断是否合法。注意，像 \(dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j]+(a[i]==k))\) 这种语句 \((a[i]==k)\) 不能拿出来另外判断！
- 如果实在难以维护，可以考虑多维护一维/多开一个数组，辅助转移。
- 有时候预处理能省很多事。
- 还有一个关路灯型的区间dp，很多题里都有。
总结：区间dp的数据范围一般比较小（甚至有些题 \(O(n^4)\) 也能过），区间转移比较套路。
3.背包dp
直接看吧。。。
如果你还是不理解多重背包的二进制优化，可以看看这篇。
4.树形dp
个人认为归纳梳理很清晰
树形dp
大致就是dfs上写dp（可以用链式前向星来存图）
顺带放一下链式前向星的代码：
int head[100005], edgenum;
struct edge{
int next;
int to;
int w;
};
edge edge[MAXN];
void add(int from,int to,int w)
{
edge[++edgenum].next=head[from];
edge[edgenum].to=to;
edge[edgenum].w=w;
head[from]=edgenum;
}
......
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
......
}
5.状态压缩dp
这是一个考试可以打暴力分的优化。本质上是dp，通过状态压缩优化，将一些操作改为位运算即可。（注意优先级）
先放个模板题和代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n, k, ans, len, num;
ll c[10000], dp[10][100][2000], cnt[10000];
int main()
{
cin>>n>>k;
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
{
int s1=i;
num=0;
while(s1)
{
if(s1&1)
{
num++;
}
s1>>=1;
}
cnt[i]=num;
if((((i<<1)|(i>>1))&i)==0)
{
c[++len]=i;
}
}
dp[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int d=1;d<=len;d++)
{
int s1=c[d];
for(int u=1;u<=len;u++)
{
int s2=c[u];
if(((s2|(s2<<1)|(s2>>1))&s1)==0)
{
for(int j=0;j<=k;j++)
{
if(j-cnt[s1]>=0)
{
dp[i][j][s1]+=dp[i-1][j-cnt[s1]][s2];
}
}
}
}
}
}
for(int i=1;i<=len;i++)
{
ans+=dp[n][k][c[i]];
}
cout<<ans;
return 0;
}
6.单调队列优化dp
前置知识：单调队列（详见学习笔记）
其实它本质上是一个dp，由于时间复杂度的限制，用单调队列优化。
往往我们要求最大值，就把最大值放在队首，维护一个单调递减的队列。反之，亦然。
核心代码：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!q.empty()&&q.front()+m<i)//m:区间长度
{
q.pop_front();
}
//状态转移方程
while(!q.empty()&&a[q.back()]>a[i])
{
q.pop_back();
}
q.push_back(i);
}
7.斜率优化dp
你猜我为什么没有写 完
似乎这种优化只需要掌握一点关于一次函数的知识，实在不知道的bd一下就好了。
进入正题：
它的状态转移方程一般为：\(dp[i]=\min/\max(A+B+C)(A\)表示一个关于
\(i\)的式子，\(B\)表示一个关于j的式子，\(C\)是一个存在形如 \(a_{i}*b_{j}\) 的项的式子，例如 \(dp[i]=dp[j]+(i-j)^2\).）
此时这个式子需要采用斜率优化。
做题思路：先用常规dp方法推出状态转移方程，假设存在 \(k\) 比当前选择更优，将两个dp式子列出来比较，进行展开、移项、合并同类项（简称推式子）等方法转换为斜率式子，将较为复杂且下标相同的部分用另一个数组代替（例如：\(f[x]=dp[x]+s[x]^2\)），最终化成形如\((f[j]-f[k])/(s[j]-s[k])<2s[i]\) 的式子。
然后判断要维护一个上凸包还是下凸包（求最大值为上凸包，求最小值为下凸包），用单调队列来维护点集。
就长这个样子：
模板代码：
int slope_up(int j, int k)
{
return dp[j]-dp[k];
}
int slope_down(int j, int k)
{
return a[j]-a[k];
}
int main()
{
memset(dp, INF, sizeof(dp));
dp[0]=0;
int head=1, tail=0;
q[++tail]=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&slope_up(q[head+1],q[head])<=b[i]*slope_down(q[head+1]，q[head]))
{
head++;
}
//转移方程
while(head<tail&&slope_up(q[tail],q[tail-1])*slope_down(i,q[tail])>=slope_up(i,q[tail])*slope_down(q[tail],q[tail-1]))
{
tail--;
}
q[++tail]=i;
}
}
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tbc.
是绳子都会断，是糖都会过期。
