欧拉函数学习笔记

——摘自维基百科（链接）

欧拉函数，最初听起来很高深，可实际真的很简单。

φ(1)=1这是一个特殊情况。

（p代表质因数）

但怎么求呢？

 

法一：埃拉托斯提尼筛（线性筛法）

想法很古老且简单，实现也很容易

设a[i]为i的欧拉函数

就是从2开始往后把整个范围内的倍数筛掉（标记为合数）

然后依次寻找那些没有被筛的继续筛

最后剩下的进行如下操作：

a[j]=a[j]/i*(i-1)（同上图）

便完成了

 

时间复杂度：O(n log n)

 

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100015],n;
int main()
{
    a[1]=1;
    for(register int i=2;i<=100010;i++)
    {
        a[i]=i;
    }
    for(register int i=2;i<=100010;i++)
    {
        if(a[i]==i)
        {
            for(register int j=i;j<=100010;j+=i)
            {
                a[j]=a[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 

法二：欧拉筛

这种方法提高了时间复杂度

设prime[j]表示现在做到了第j个素数

这是便要分两种情况讨论：

1.prime[j]是i的质因数

则：

a[prime[j]*i]=a[i]*prime[j];

break;/*这是最关键的一步，免得重复筛选其他质因数浪费时间*/

2.prime[j]不是i的质因数

则：

a[prime[j]*i]=a[i]*a[prime[j]];/*根据前文的公式可推*/

 

 

每个数被它最小的质因数筛之后再判断

 

时间复杂度：O(n)

 

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[100015],prime[100015],shu1,n;
bool bz[100015];
int main()
{
    a[1]=1;
    shu1=0;
    memset(bz,true,sizeof(bz));
    for(register int i=2;i<=100010;i++)
    {
        if(bz[i]==true)
        {
            prime[++shu1]=i;
            a[i]=i-1;
        }
        for(register int j=1;j<=shu1&&prime[j]*i<=100010;j++)
        {
            bz[prime[j]*i]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                a[prime[j]*i]=a[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                a[prime[j]*i]=a[i]*a[prime[j]];
            }
        }
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 

加油！