Causal Inference理论学习篇-Tree Based-Causal Forest

广义随机森林

了解causal forest之前，需要先了解其forest实现的载体：GENERALIZED RANDOM FORESTS[6]（GRF)
其是随机森林的一种推广， 经典的随机森林只能去估计label Y，不能用于估计复杂的目标，比如causal effect，Causal Tree、Cauasl Forest的同一个作者对其进行了改良。先定义一下矩估计参数表达式：

\[\begin{equation} \tag{1} \mathbb E[\psi_{\theta(x), \upsilon(x)}(O_i)|X=x]=0 \end{equation} \]

其中，\(\psi\) 是score function，也就是measure metric，\(\theta\) 是我们不得不去计算的参数，比如tree里面的各项参数如特征threshold，叶子节点估计值..etc, \(\upsilon\)

则是一个可选参数。\(O\) 表示和计算相关的值，比如监督信号。像response类的模型，\(O_i={Y_i}\), 像causal 模型，\(O_i={Y_i, W_i}\) \(W\) 表示某种treatment。
该式在实际优化参数的时候，等价于最小化：

\[\tag{2} \left(\hat \theta(x), \upsilon(x)\right)\in argmin_{\theta, \upsilon}\left|\left|\sum\alpha_i(x)\psi_{\theta, \upsilon(O_i)}\right|\right|_2 \]

其中，\(\alpha\) 是一种权重，当然，这里也可以理解为树的权重，假设总共需要学习\(B\) 棵树：

\[\alpha_i(x)=\frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}\alpha_{bi}(x) \]

\[\alpha_{bi(x)}=\frac{1(\{x\in L_b(x)\})}{|L_b(x)|} \]

其中，\(L_b(x)\) 表示叶子节点里的样本。本质上，这个权重表示的是：训练样本和推理或者测试样本的相似度，因为如果某个样本\(x_i\)落入叶子\(L_b\) ,且我们可以认为叶子节点内的样本同质的情况下，那么可以认为这个样本和当前落入的tree有相似性。

当然，按照这个公式，如果\(L_b\) 很大，说明进入这个叶子的训练样本很多，意味着没划分完全，异质性低，则最后分配给这棵树的权重就低，反之亦然。

分裂准则框架

对于每棵树，父节点\(P\) 通过最优化下式进行分裂：

\[\tag{3}\left(\hat{\theta}_P, \hat{\nu}_P\right)(\mathcal{J}) \in \operatorname{argmin}_{\theta, \nu}\left\{\left\|\sum_{\left\{i \in \mathcal{J}: X_i \in P\right\}} \psi_{\theta, \nu}\left(O_i\right)\right\|_2\right\} . \]

其中，\(\mathcal{J}\) 表示train set，分裂后形成的2个子节点标准为：通过最小化估计值与真实值间的误差平方：

\[\tag{4}\operatorname{err}\left(C_1, C_2\right)=\sum_{j=1,2} \mathbb{P}\left[X \in C_j \mid X \in P\right] \mathbb{E}\left[\left(\hat{\theta}_{C_j}(\mathcal{J})-\theta(X)\right)^2 \mid X \in C_j\right] \]

等价于最大化节点间的异质性：

\[\tag{5}\Delta\left(C_1, C_2\right):=n_{C_1} n_{C_2} / n_P^2\left(\hat{\theta}_{C_1}(\mathcal{J})-\hat{\theta}_{C_2}(\mathcal{J})\right)^2 \]

但是\(\theta\) 参数比较难优化，交给梯度下降：

\[\tag{6}\tilde{\theta}_C=\hat{\theta}_P-\frac{1}{\left|\left\{i: X_i \in C\right\}\right|} \sum_{\left\{i: X_i \in C\right\}} \xi^{\top} A_P^{-1} \psi_{\hat{\theta}_P, \hat{\nu}_P}\left(O_i\right) \]

其中，\(\hat \theta_P\) 通过 (2) 式获得, \(A_p\) 为score function的梯度

\[\tag{7}A_P=\frac{1}{\left|\left\{i: X_i \in P\right\}\right|} \sum_{\left\{i: X_i \in P\right\}} \nabla \psi_{\hat{\theta}_P, \hat{\nu}_P}\left(O_i\right), \]

梯度计算部分包含2个step：

• step1：labeling-step 得到一个pseudo-outcomes

\[\tag{8}\rho_i=-\xi^{\top} A_P^{-1} \psi_{\hat{\theta}_P, \hat{\nu}_P}\left(O_i\right) \in \mathbb{R}$. \]

• step2：回归阶段，用这个pseudo-outcomes 作为信号，传递给split函数, 最终是最大化下式指导节点分割

\[{\Delta}\left(C_1, C_2\right)=\sum_{j=1}^2 \frac{1}{\left|\left\{i: X_i \in C_j\right\}\right|}\left(\sum_{\left\{i: X_i \in C_j\right\}} \rho_i\right)^2 \]

以下是GRF的几种Applications：

Causal Forest

以Casual-Tree为base，不做任何估计量的改变

与单棵 tree 净化到 ensemble 一样，causal forest[7] 沿用了经典bagging系的随机森林，将一颗causal tree 拓展到多棵：

\[\hat \tau=\frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B} \hat \tau_b(x) \]

其中，每科子树\(\hat \tau\) 为一颗Casual Tree。使用随机森林作为拓展的好处之一是不需要对causal tree做任何的变换，这一点比boosing系的GBM显然成本也更低。

不过这个随机森林使用的是广义随机森林 , 经典的随机森林只能去估计label Y，不能用于估计复杂的目标，比如causal effect，Causal Tree、Cauasl Forest的同一个作者对其进行了改良，放在后面再讲。

在实现上，不考虑GRF，单机可以直接套用sklearn的forest子类，重写fit方法即可。分布式可以直接套用spark ml的forest。

self._estimator = CausalTreeRegressor(
			    control_name=control_name, 
			    criterion=criterion, 
			    groups_cnt=groups_cnt)
			    
trees = [self._make_estimator(append=False, random_state=random_state)
                for i in range(n_more_estimators)]
                
trees = Parallel(
                n_jobs=self.n_jobs,
                verbose=self.verbose,
                **_joblib_parallel_args,
            )(
                delayed(_parallel_build_trees)(
                    t,
                    self,
                    X,
                    y,
                    sample_weight,
                    i,
                    len(trees),
                    verbose=self.verbose,
                    class_weight=self.class_weight,
                    n_samples_bootstrap=n_samples_bootstrap,
                )
                for i, t in enumerate(trees)
            )

            self.estimators_.extend(trees)

CAPE:  适用连续treatment 的 causal effect预估

Conditional Average Partial Effects(CAPE)

GRF给定了一种框架：输入任意的score-function，能够指导最大化异质节点的方向持续分裂子树，和response类的模型一样，同样我们需要一些估计值(比如gini index、entropy)来计算分裂前后的score-function变化，计算估计值需要估计量，定义连续treatment的估计量为：

\[\theta(x)=\xi^{\top} \operatorname{Var}\left[W_i \mid X_i=x\right]^{-1} \operatorname{Cov}\left[W_i, Y_i \mid X_i=x\right] \]

估计量参与指导分裂计算，但最终，叶子节点存储的依然是outcome的期望。

此处的motivation来源于工具变量和线性回归：

\[y=f(x)=wx+b \]

此处我们假设\(x\)是treatment，y是outcome， \(w\) 作为一个参数简单的描述了施加treatment对结果的直接影响，要寻找到参数我们需要一个指标衡量参数好坏, 也就是loss, 和casual tree一样，通常使用mse：

\[L(w, b) = \frac{1}{2}\sum(f(x)-y)^2 \]

为了最快的找到这个w，当然是往函数梯度的方向, 我们对loss求偏导并令其为0：

\[\tag{1}\frac{\partial L}{\partial w}=\sum(f(x)-y)x=\sum(wx+b-y)x \]

\[ \tag{2} \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial b} & = \sum(f(x)-y)=\sum(wx+b-y) \\ & \Rightarrow \sum b= \sum y-\sum wx \\ & \Rightarrow b = E(y)-wE(x) = \bar y - w\bar x \end{aligned} \]

(2) 代入 (1) 式可得：

\[ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial w} & \Rightarrow \sum(wx+\bar y-w\bar x-y)x =0 \\ &\Rightarrow w=\frac{\sum xy-\bar y\sum x}{\sum x^2-\bar x\sum x} \\ &\Rightarrow w=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum(x-\bar x)^2}\\ &\Rightarrow w=\frac{Cov(x,y)}{Var(x)} \end{aligned} \]

可简化得参数w是关于treatment和outcome的协方差/方差。至于\(\xi\) , 似乎影响不大。

refs

1. https://hwcoder.top/Uplift-1
2. 工具: scikit-uplift
3. Meta-learners for Estimating Heterogeneous Treatment Effects using Machine Learning
4. Athey, Susan, and Guido Imbens. "Recursive partitioning for heterogeneous causal effects." Proceedings of the National Academy of Sciences 113.27 (2016): 7353-7360.
5. https://zhuanlan.zhihu.com/p/115223013
6. Athey, Susan, Julie Tibshirani, and Stefan Wager. "Generalized random forests." (2019): 1148-1178.
7. Wager, Stefan, and Susan Athey. "Estimation and inference of heterogeneous treatment effects using random forests." Journal of the American Statistical Association 113.523 (2018): 1228-1242.
8. Rzepakowski, P., & Jaroszewicz, S. (2012). Decision trees for uplift modeling with single and multiple treatments. Knowledge and Information Systems, 32, 303-327.
9. annik Rößler, Richard Guse, and Detlef Schoder. The best of two worlds: using recent advances from uplift modeling and heterogeneous treatment effects to optimize targeting policies. International Conference on Information Systems, 2022.