无能量损失弹跳效果的实现
物体从高度为\(H\)处自由落下,撞击地面,假定没有能量损失,根据能量守恒定理,弹跳的高度一定还为\(H\).选地面为基准点,位移向上为正.则位移和时间的示意图如下所示(注意图只是为了说明问题,不是严格位移和时间的关系)
每次物体撞击地面后到下次撞击地面前看成一个周期.对于上图来讲,0时刻到1时刻单独考虑,从1时刻开始,1到3为一个周期,3到5为一个周期...假定周期为\(T\),加速度为\(a\),对于某一时刻\(t\)的位移,分下面2种情况讨论:
\(0<t<\frac12T\)
物体做初速度为0的匀加速运动,时间和位移的关系为:
\[\begin{equation}
s=H-\frac12at^2
\label{eq:1}
\end{equation}
\]
物体从最高点下落到最低点,在最低点时位移和时间的关系是:
\[\begin{equation}
-H=-\frac12a(\frac12T)^2
\label{eq:2}
\end{equation}
\]
联立方程\eqref{eq:1},\eqref{eq:2}可得
\[\begin{equation}
s=H(1-\frac{4t^2}{T^2})
\label{eq:result1}
\end{equation}
\]
\(t>=\frac12T\)
先对\(t-0.5T\)作模\(T\)的运算,设结果为\(\Delta\)\(t\),从上次撞击地面到\(\Delta\)\(t\)时刻物体是匀加速运动,时间和位移的公式是
\[\begin{equation}
s=v{\Delta}t-\frac12a{\Delta}t^2
\label{eq:3}
\end{equation}
\]
物体从最高点落下降到最低点,作初速度为0的匀加速运动,设末速度为\(v\),则在最低点时,加速度时间和速度的关系为:
\[\begin{equation}
v=a\frac{T}2
\label{eq:4}
\end{equation}
\]
联立方程\eqref{eq:2},\eqref{eq:3},\eqref{eq:4}可得
\[\begin{equation}
s=\frac{4H{\Delta}t}{T^2}(T-{\Delta}{t})
\label{eq:Result2}
\end{equation}
\]
