无能量损失弹跳效果的实现

物体从高度为$H$处自由落下,撞击地面,假定没有能量损失,根据能量守恒定理,弹跳的高度一定还为$H$.选地面为基准点,位移向上为正.则位移和时间的示意图如下所示(注意图只是为了说明问题,不是严格位移和时间的关系)

每次物体撞击地面后到下次撞击地面前看成一个周期.对于上图来讲,0时刻到1时刻单独考虑,从1时刻开始,1到3为一个周期,3到5为一个周期...假定周期为$T$,加速度为$a$,对于某一时刻$t$的位移,分下面2种情况讨论:

$0<t<\frac12T$

物体做初速度为0的匀加速运动,时间和位移的关系为:

$$\begin{equation} s=H-\frac12at^2 \label{eq:1} \end{equation}$$

物体从最高点下落到最低点,在最低点时位移和时间的关系是:

$$\begin{equation} -H=-\frac12a(\frac12T)^2 \label{eq:2} \end{equation}$$

联立方程$\eqref{eq:1}$,$\eqref{eq:2}$可得

$$\begin{equation} s=H(1-\frac{4t^2}{T^2}) \label{eq:result1} \end{equation}$$

$t>=\frac12T$

先对$t-0.5T$作模$T$的运算,设结果为$\Delta$$t$,从上次撞击地面到$\Delta$$t$时刻物体是匀加速运动,时间和位移的公式是

$$\begin{equation} s=v{\Delta}t-\frac12a{\Delta}t^2 \label{eq:3} \end{equation}$$

物体从最高点落下降到最低点,作初速度为0的匀加速运动,设末速度为$v$,则在最低点时,加速度时间和速度的关系为:

$$\begin{equation} v=a\frac{T}2 \label{eq:4} \end{equation}$$

联立方程$\eqref{eq:2}$,$\eqref{eq:3}$,$\eqref{eq:4}$可得

$$\begin{equation} s=\frac{4H{\Delta}t}{T^2}(T-{\Delta}{t}) \label{eq:Result2} \end{equation}$$