基础--递推
递推：
递推学不好，动规做不了
基本思路：
确定状态转移方程：从第 i-1 位怎么转移到第 i 位 （找规律）
例题：
例一：骨牌
有 2*n 的一个长方形方格，用一个1*2 的骨牌铺满方格。求输入一个 n ，最多有多少种铺法（n = 3 ，有如下图三种铺法）
基本思路：用递推方法找规律
- 当 n=1 时，只有一种铺法
- 当 n=2 时，有两种铺法（可以并列竖排，可以并列横排）
- 当 n=3 时，有三种铺法（如上图）
推出规律：对一般的 n 来说，第一个骨牌有两种放置情况
- 横着放，占两格
- 竖着放，占一格
若第一个骨牌是横着放，则需要对剩下的 n-2 进行排列，此时方法为f（n-2）个
若第一个骨牌是竖着放，则需要对剩下的 n-1 进行排列，此时方法为f（n-1）个
所以，递推式为 f（n）=f（n-1）+f（n-2）
1 f[1]=1,f[2]=2; 2 for(int i=3;i<=n;i++) 3 f[i]=f[i-1]+f[i-2]; 4 cout<<f[n]; 5 return 0;
例二：昆虫繁殖
有一种昆虫，每过x个月产y对卵，每对卵需要2个月才能长成成虫。假设每对成虫不死，并且每对卵刚张成成虫的第一个月不产卵（过x个月产卵）。第一个月只有一对成虫，问z个月后有多少对成虫？
输入一行三个数，分别为x，y，z。x≤20，1≤y≤20，z≤50。
Example Input
1 2 8
Example Output
37
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int a[1000],b[1000]; //a[i]为老虫子的个数，b[i]为小虫子的个数 4 int main() 5 { 6 int x,y,z; 7 cin>>x>>y>>z; 8 for(int i=1;i<=x;i++) 9 a[i]=1; //在前x个月里只有一对老虫子（还没生出小虫子） 10 for(int i=x+1;i<=z+1;i++) 11 { 12 b[i]=y*a[i-x]; //这个月生出了多少对小虫子 13 a[i]=a[i-1]+b[i-2]; //现在这个月的老虫子数量=上个月的老虫子数量+上上个月的小虫子数量（已经长大了） 14 } 15 cout<<a[z+1]; //求的是现在一共有多少对老虫子，如果求总共有多少对虫子应该是a[z+1]+b[z+1]; 16 return 0; 17 }
思路：用数组 a[ i ] 代表第 i 个月的老虫子数量，用数组 b[ i ] 表示第 i 个月的小虫子的数量 模拟递推求解
（如果每隔k个月老虫子会死怎么算） a[ i ] - = a[ i-k ] ?
例三：位数问题
问题描述：在所有的n位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果很大，你只需要输出对这个答案对12345取余的值
输入格式：输入一个数字n
输出格式：输出有多少个数中有偶数个数字3
输入样例：2
输出样例：73
数据范围：1<=n<=1000
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int f[1000][2]; //f[i][0]表示前i位数有偶数个3的有几种情况，f[i][1]表示有奇数个三的有几种情况 4 int main() 5 { 6 int n; 7 cin>>n; 8 f[1][0]=9; // 0 1 2 4 5 6 7 8 9 有0个3 9 f[1][1]=1; // 3 10 for(int i=2;i<=n;i++) 11 { 12 int x=f[i-1][0]; 13 if(i==n) x--; //因为第一位数可能是0，所以先让第一位可以是0，最后一位再不取0（这样最后一位就少了0这种情况，所以X--），相当于倒过来； 14 f[i][0]=f[i-1][0]*x+f[i-1][1]; 15 f[i][1]=f[i-1][1]*x+f[i-1][0]; 16 } 17 cout<<f[n][0]; 18 return 0; 19 }
思路：递推 从第 n-1 位推到第 n 位
原来 n-1 位有偶数个3，再加上的一位有9种可能（0，1，2，4，5，6，7...）原来 n-1 位有奇数个3，再加上的一位只有1种可能（3），变成偶数个3
所以递推式为：f [ i ] [ 0 ] = f [ i - 1 ] [ 0 ] *9 + f [ i - 1 ] [ 1 ]
例四：过河卒问题
棋盘上 AA 点有一个过河卒，需要走到目标 BB 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 CC 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，AA 点 (0, 0)(0,0)、BB 点 (n, m)(n,m)，同样马的位置坐标是需要给出的。
现在要求你计算出卒从 AA 点能够到达 BB 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。
输入格式
一行四个正整数，分别表示 BB 点坐标和马的坐标。
输出格式
一个整数，表示所有的路径条数。
输入输出样例
6 6 3 3
6
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cmath> 4 using namespace std; 5 long long f[25][25]; 6 bool b[25][25]; 7 int main() 8 { 9 int x,y,xm,ym,i,j; 10 cin>>x>>y>>xm>>ym; 11 x+=2; 12 y+=2; 13 xm+=2; 14 ym+=2; 15 f[2][2]=1; 16 for(int i=1;i<=x;i++) 17 for(int j=1;j<=y;j++) 18 b[i][j]=true; 19 b[xm][ym]=false; 20 b[xm-1][ym-2]=false; 21 b[xm-2][ym-1]=false; 22 b[xm-2][ym+1]=false; 23 b[xm-1][ym+2]=false; 24 b[xm+1][ym+2]=false; 25 b[xm+2][ym+1]=false; 26 b[xm+1][ym-2]=false; 27 b[xm+2][ym-1]=false; 28 for(int i=2; i<=x; i++) //i是纵坐标y;j是横坐标x; 29 for(int j=2; j<=y; j++) 30 { 31 if(b[i][j]==false) continue; 32 f[i][j]=max(f[i-1][j]+f[i][j-1],f[i][j]); 33 } 34 cout<<f[x][y]; 35 return 0; 36 }
基本思路：f [ i ] [ j ] = f [ i - 1 ] [ j ] + f [ i ] [ j - 1 ] 也就是说 到达某一个点的路径数 等于 到达它上面的路径数 加 到达它左面的路径数
边界：f [1][1]=1
但注意，状态转移方程不能这么写， 必须用max比较，否则 f [1][1]会被覆盖成0；
例五：汉诺塔问题（递推 / 递归）
例六：放苹果（递推 / 搜索）
例七：判断整除
例八：踩方格
补充：当递推遇见高精度
数楼梯
题目描述
楼梯有 NN 阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。
编一个程序，计算共有多少种不同的走法。
输入格式
一个数字，楼梯数。
输出格式
输出走的方式总数。
输入输出样例
4
5
说明/提示
- 对于 60\%60% 的数据，N \leq 50N≤50；
- 对于 100\%100% 的数据，N \leq 5000N≤5000。
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int n,f[5010][5010],len; 4 void jiafa(int k) 5 { 6 for(int i=1; i<=len; i++) 7 f[k][i]=f[k-1][i]+f[k-2][i]; 8 for(int i=1; i<=len; i++) 9 if(f[k][i]>=10) 10 { 11 f[k][i+1]+=f[k][i]/10; 12 f[k][i]%=10; 13 if(f[k][len+1]>0)len++; 14 } 15 } 16 int main() 17 { 18 cin>>n; 19 len=1; 20 f[1][1]=1;//预处理 21 f[2][1]=2;//预处理 22 for(int i=3; i<=n; i++)//开始计算 23 jiafa(i); 24 for(int i=len; i>=1; i--)//输出 25 cout<<f[n][i]; 26 return 0; 27 }
思路：f [ i ] [ j ] 表示斐波那契数列第 i 项的第 j 位 （如 f [4][1]表示 f [4]的第1位数即为5）
（4.6日再写）
五种典型的递推关系：
1.斐波那契数列：
2.Hanoi塔问题：
3.平面分割问题：
4.卡特兰数：
5.第二类 Stirling 数：
