[BZOJ1937][SHOI2004]Mst 最小生成树

bzoj
luogu

description

给一张\(n\)点\(m\)条边的带权图，保证无重边无自环，并给出这张图的一棵生成树。你可以任意修改每条边的边权，但是要求修改后边权仍是整数。修改的代价定义为边权的变化量。你需要保证边权修改后给出的生成树是原图的最小生成树（可以不唯一）。
求最小修改代价。
\(n\le50,m\le800\)。

sol

其实做这道题的原因是今天打百度之星的时候发现自己并不会KM
首先很显然，树边的边权只可能减小，非树边的边权只可能增大。
设每条边的修改量为\(d_i\)，我们考虑每一条非树边\(i\)，对于它覆盖到的每一条树边\(j\)，我们要求修改后\(i\)的边权不小于\(j\)的边权，也就是\(w_j+d_j \ge w_i-d_i\)，移项后\(d_i+d_j \ge w_i-w_j\)。
这个东西就是\(KM\)顶表的要求。所以直接跑\(KM\)就可以了。复杂度可以做到\(O(nm^2)\)

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 1005;
const int inf = 1<<30;
struct edge{int u,v,w;}E[N];
int n,m,to[N],nxt[N],ww[N],head[N],cnt=1,fa[N],dep[N],ref[N],a[N][N],tot;
int slack[N],lv[N],rv[N],mat[N],vis[N],pre[N];
void link(int u,int v,int w){
	to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];ww[cnt]=w;head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int f){
	fa[u]=f;dep[u]=dep[f]+1;
	for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
		if (to[e]!=f) ref[to[e]]=e>>1,dfs(to[e],u);
}
void aug(int s){
	for (int i=0;i<=tot;++i) slack[i]=inf,vis[i]=pre[i]=0;
	int u=0;mat[u]=s;
	do{
		int now=mat[u],d=inf,nxt;vis[u]=1;
		for (int v=1;v<=tot;++v)
			if (!vis[v]){
				if (lv[now]+rv[v]-a[now][v]<slack[v])
					slack[v]=lv[now]+rv[v]-a[now][v],pre[v]=u;
				if (d>slack[v]) d=slack[v],nxt=v;
			}
		for (int i=0;i<=tot;++i)
			if (vis[i]) lv[mat[i]]-=d,rv[i]+=d;
			else slack[i]-=d;
		u=nxt;
	}while (mat[u]);
	while (u) mat[u]=mat[pre[u]],u=pre[u];
}
int main(){
	freopen("1937.in","r",stdin);
	freopen("1937.out","w",stdout);
	n=gi();m=gi();tot=max(n-1,m-n+1);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		E[i]=(edge){gi(),gi(),gi()};
		if (E[i].u>E[i].v) swap(E[i].u,E[i].v);
	}
	for (int i=1;i<n;++i){
		int u=gi(),v=gi(),w;if (u>v) swap(u,v);
		for (int j=1;j<=m;++j)
			if (E[j].u==u&&E[j].v==v){
				w=E[j].w;vis[j]=1;break;
			}
		link(u,v,w);link(v,u,w);
	}
	dfs(1,0);
	for (int i=1,num=0;i<=m;++i)
		if (!vis[i]){
			int u=E[i].u,v=E[i].v;++num;
			while (u^v){
				if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
				int e=ref[u];a[e][num]=ww[e<<1]-E[i].w;
				u=fa[u];
			}
		}
	for (int i=1;i<=tot;++i)
		for (int j=1;j<=tot;++j)
			lv[i]=max(lv[i],a[i][j]);
	for (int i=1;i<n;++i) aug(i);
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=tot;++i) ans+=lv[i]+rv[i];
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}