[BZOJ4200][NOI2015]小园丁与老司机
description
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 \(n\) 棵许愿树，编号 \(1,2,3, \ldots ,n\)，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 \(i\) 棵树 （\(1 \leq i \leq n\)） 位于坐标 \((x_i,y_i)\)。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 \((0,0)\) 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：
- 为左、右、上、左上 \(45^{\circ}\) 、右上 \(45^{\circ}\) 五个方向之一。
- 沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后，Mr. P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。
不幸的是，小园丁 Mr. S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr. P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。
在 Mr. P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr. P 一样任选一种最优策略行动。Mr. S 认为非左右方向（即上、左上\(45^{\circ}\) 、右上 \(45^{\circ}\) 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有「可能留下非左右方向车辙印」的地面。
「可能留下非左右方向车辙印」的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：
- 从原点或任意一棵树出发。
- 只能向上、左上 \(45^{\circ}\) 、右上 \(45^{\circ}\) 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。
- 只能经过「可能留下非左右方向车辙印」的地面，但是同一块地面可以被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题：
- 请给 Mr .P 指出任意一条最优路线。
- 请告诉 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
sol
这道题又是个二合一啊。
对于第一问，为老司机求出一条最优路径，这个我们可以\(dp\)得到。
因为行走路线不能向下，我们令\(y_i\)相同的树为同一层，可以发现最优决策一定是：先在同一层中把所有可以走到的树全部走到，再向上走到达下一层。这么一来每一层就会有一个确定的入点和出点。（这里注意一下并不是所有层都会被经过）
先求出每个点向下、左下、右下三个方向到达的最近的树，这是这个点作为这一层的进入点的三个前驱。设\(f_i\)表示到达第\(i\)棵树作为当前这一层的出点时最多经过多少棵树，那么就可以枚举入点，分三种情况讨论：
1、入点就是出点，那么这一层就只能经过这一棵树。
2、入点在出点的左侧，那么可以经过出点左侧的所有树（在这一层中先一直往左走再一直往右走直到到达出点）
3、入点在出点的右侧，那么可以经过出点右侧的所有树。
然后这个\(dp\)是可以做到\(O(n)\)的。输出方案的时候，其实可以不记录\(dp\)转移的前驱，只要照着转移的方式再扫一遍所有前驱，看看是从哪个位置转移来的即可。
接下来就需要处理小园丁的问题。我们先可以求出那些边是必须经过的边，然后问题就转化为了要求这些边的流量都至少是\(1\)。
这是一个上下界网络流的问题。我们先假设这些边的流量是\(1\)，这样有的点就会不满足流量守恒。新建源点汇点对这些流量不平衡的点进行补流或者是分流。
因为求的是最小流，按照最小流的一般思路是先从新建源点向新建汇点跑最大流，在不建立从原汇点到原源点的\(inf\)的情况下，这样跑出的最大流就是原图中最多的可以承担的流量，所以答案就是\(\sum_{d_i>0}d_i\)-最大流。
code
码农题啊qwq
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
int gi(){
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
#define cmax(a,b) (a<b?a=b:a)
const int N = 5e4+5;
const int inf = 1e9;
struct node{
int x,y,id;
bool operator < (const node &b) const{
if (y==b.y) return x<b.x;return y<b.y;
}
}p[N];
int n,o[N],len,d[N],ld[N],rd[N],f[N],g[N],tag[N],ans;
vector<int>v[N];map<int,int>M;queue<int>Q;
struct network{
struct edge{int to,nxt,w;}a[N*100];
int S,T,head[N],cnt,tot,du[N],dep[N],cur[N];
void link(int u,int v){
for (int e=head[u];e;e=a[e].nxt) if (a[e].to==v) return;
a[++cnt]=(edge){v,head[u],inf};head[u]=cnt;
a[++cnt]=(edge){u,head[v],0};head[v]=cnt;
++du[v];--du[u];tag[u]=1;
}
void link(int u,int v,int w){
a[++cnt]=(edge){v,head[u],w};head[u]=cnt;
a[++cnt]=(edge){u,head[v],0};head[v]=cnt;
}
bool bfs(){
memset(dep,0,sizeof(dep));
dep[S]=1;Q.push(S);
while (!Q.empty()){
int u=Q.front();Q.pop();
for (int e=head[u];e;e=a[e].nxt)
if (a[e].w&&!dep[a[e].to])
dep[a[e].to]=dep[u]+1,Q.push(a[e].to);
}
return dep[T];
}
int dfs(int u,int f){
if (u==T) return f;
for (int &e=cur[u];e;e=a[e].nxt)
if (a[e].w&&dep[a[e].to]==dep[u]+1){
int tmp=dfs(a[e].to,min(a[e].w,f));
if (tmp) {a[e].w-=tmp;a[e^1].w+=tmp;return tmp;}
}
return 0;
}
int dinic(){
int res=0;
while (bfs()){
for (int i=0;i<=T;++i) cur[i]=head[i];
while (int tmp=dfs(S,inf)) res+=tmp;
}
return res;
}
int work(){
S=n+1;T=n+2;
for (int i=0;i<=n;++i){
if (du[i]>0) link(S,i,du[i]),tot+=du[i];
if (du[i]<0) link(i,T,-du[i]);
}
return tot-dinic();
}
}G;
bool cmp(node i,node j){return i.id<j.id;}
int pre(int x){
if (~d[x]&&g[x]==f[d[x]]) return d[x];
if (~ld[x]&&g[x]==f[ld[x]]) return ld[x];
if (~rd[x]&&g[x]==f[rd[x]]) return rd[x];
}
void dfs(int u){
if (!u) return;int sz=v[p[u].y].size(),pos=0;
while (v[p[u].y][pos]!=u) ++pos;
if (f[u]==g[u]+1) {dfs(pre(u));printf("%d ",u);return;}
for (int i=0;i<pos;++i){
int x=v[p[u].y][i];
if (f[u]==g[x]+pos+1){
dfs(pre(x));
for (int j=i;~j;--j) printf("%d ",v[p[u].y][j]);
for (int j=i+1;j<=pos;++j) printf("%d ",v[p[u].y][j]);
return;
}
}
for (int i=pos+1;i<sz;++i){
int x=v[p[u].y][i];
if (f[u]==g[x]+sz-pos){
dfs(pre(x));
for (int j=i;j<sz;++j) printf("%d ",v[p[u].y][j]);
for (int j=i-1;j>=pos;--j) printf("%d ",v[p[u].y][j]);
return;
}
}
}
void build(int u){
int sz=v[p[u].y].size(),pos=0;
while (v[p[u].y][pos]!=u) ++pos;
if (f[u]==g[u]+1){
if (~d[u]&&g[u]==f[d[u]]) G.link(d[u],u);
if (~ld[u]&&g[u]==f[ld[u]]) G.link(ld[u],u);
if (~rd[u]&&g[u]==f[rd[u]]) G.link(rd[u],u);
}
for (int i=0;i<pos;++i){
int x=v[p[u].y][i];
if (f[u]==g[x]+pos+1){
if (~d[x]&&g[x]==f[d[x]]) G.link(d[x],x);
if (~ld[x]&&g[x]==f[ld[x]]) G.link(ld[x],x);
if (~rd[x]&&g[x]==f[rd[x]]) G.link(rd[x],x);
}
}
for (int i=pos+1;i<sz;++i){
int x=v[p[u].y][i];
if (f[u]==g[x]+sz-pos){
if (~d[x]&&g[x]==f[d[x]]) G.link(d[x],x);
if (~ld[x]&&g[x]==f[ld[x]]) G.link(ld[x],x);
if (~rd[x]&&g[x]==f[rd[x]]) G.link(rd[x],x);
}
}
}
int main(){
n=gi();G.cnt=1;
for (int i=1;i<=n;++i) p[i]=(node){gi(),gi(),i},o[i]=p[i].y;
sort(o+1,o+n+1);len=unique(o+1,o+n+1)-o-1;sort(p+1,p+n+1);
memset(d,-1,sizeof(d));M.clear();M[0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
if (M.find(p[i].x)!=M.end()) d[p[i].id]=M[p[i].x];
M[p[i].x]=p[i].id;
}
memset(ld,-1,sizeof(ld));M.clear();M[0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
if (M.find(p[i].x+p[i].y)!=M.end()) ld[p[i].id]=M[p[i].x+p[i].y];
M[p[i].x+p[i].y]=p[i].id;
}
memset(rd,-1,sizeof(rd));M.clear();M[0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i){
if (M.find(p[i].y-p[i].x)!=M.end()) rd[p[i].id]=M[p[i].y-p[i].x];
M[p[i].y-p[i].x]=p[i].id;
}
for (int i=1;i<=n;++i){
p[i].y=lower_bound(o+1,o+len+1,p[i].y)-o;
v[p[i].y].push_back(p[i].id);
}
memset(f,-63,sizeof(f));memset(g,-63,sizeof(g));f[0]=0;
for (int i=1;i<=len;++i){
int sz=v[i].size(),mx;
for (int j=0;j<sz;++j){
int x=v[i][j];
if (~d[x]) cmax(g[x],f[d[x]]);
if (~ld[x]) cmax(g[x],f[ld[x]]);
if (~rd[x]) cmax(g[x],f[rd[x]]);
cmax(f[x],g[x]+1);
}
mx=-inf;
for (int j=0;j<sz;++j){
int x=v[i][j];
cmax(f[x],mx+j+1);cmax(mx,g[x]);
}
mx=-inf;
for (int j=sz-1;~j;--j){
int x=v[i][j];
cmax(f[x],mx+sz-j);cmax(mx,g[x]);
}
}
for (int i=1;i<=n;++i) cmax(ans,f[i]);
printf("%d\n",ans);sort(p+1,p+n+1,cmp);
for (int i=1;i<=n;++i) if (f[i]==ans) {dfs(i);puts("");break;}
for (int i=1;i<=n;++i) if (f[i]==ans) tag[i]=1;
for (int i=len;i;--i)
for (int j=0,sz=v[i].size();j<sz;++j)
if (tag[v[i][j]]) build(v[i][j]);
printf("%d\n",G.work());
return 0;
}
