[BZOJ4712]洪水
description
小A走到一个山脚下，准备给自己造一个小屋。这时候，小A的朋友（op，又叫管理员）打开了创造模式，然后飞到山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了：我们把这个瀑布看成是一个\(n\)个节点的树，每个节点有权值（爬上去的代价）。小A要选择一些节点，以其权值和作为代价将这些点删除（堵上），使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样子太便宜小A了，于是他还会不断地修改地形，使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做得太绝了，于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是，每次他只要在某个子树中（和子树之外的点完全无关）。于是他找到你。
Input
输入文件第一行包含一个数\(n\)，表示树的大小。
接下来一行包含\(n\)个数，表示第\(i\)个点的权值。
接下来\(n-1\)行每行包含两个数\(fr,to\)。表示书中有一条边\((fr，to)\)。
接下来一行一个整数\(m\)，表示操作的个数。
接下来\(m\)行每行表示一个操作，若该行第一个数为Q，则表示询问操作，后面跟一个参数\(x\)，表示对应子树的根；若为C，则表示修改操作，后面接两个参数\(x,to\)，表示将点\(x\)的权值加上\(to\)。
\(n\le200000\)，保证任意\(to\)都为非负数
Output
对于每次询问操作，输出对应的答案，答案之间用换行隔开。
Sample Input
4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
Sample Output
3
1
4
sol
树链剖分+线段树维护动态\(dp\)。关于动态\(dp\)的内容可以去参考\(WC2018\)cjk的课件。
考虑没有修改怎么做。设\(f[i]\)表示把\(i\)子树中的叶子节点全部与\(i\)分离的最小代价，那么转移就是\(f[i]=\min(v[i],\sum_{j} f[j])\)，其中\(j\)是\(i\)的儿子。
我们把这棵树树链剖分一下，设\(g[i]\)表示\(i\)的所有轻儿子的\(f\)值之和，那么转移就变成了：\(f[i]=\min(v[i],g[i]+f[son[i]])\)。
把一条重链当作是一个一维的序列。这样我们要求的东西就类似于一个最小前缀和，可以用线段树维护一下。
对于一次修改，显然只有这个点的所有祖先的\(dp\)值会受到影响。我们每次算出一个点的修改对这个点所在重链的链顶的影响，求出这个链顶的\(dp\)值，再拿链顶去更新它的父亲。
对于一次询问，我们只要在线段树里查这个点到所在链的链底一段的\(dp\)值就行了。
由于最多只会跳\(\log n\)次重链，每次要在线段树里查一段区间的\(dp\)值，所以复杂度是\(O(n\log^2n)\)。
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
ll gi(){
ll x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
const int N = 2e5+5;
int n,q,to[N<<1],nxt[N<<1],head[N],cnt,fa[N],dep[N],sz[N],son[N],top[N],dfn[N],End[N];
ll a[N],dp[N];
struct data{
ll g,v;
data(){g=v=0;}
data(ll gg,ll vv){g=gg,v=vv;}
data operator + (const data &b) const
{return data(g+b.g,min(v,g+b.v));}
}t[N<<2],val[N];
void link(int u,int v){
to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs1(int u,int f){
fa[u]=f;dep[u]=dep[f]+1;sz[u]=1;
for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
if (to[e]!=f){
dfs1(to[e],u);sz[u]+=sz[to[e]];
if (sz[to[e]]>sz[son[u]]) son[u]=to[e];
}
}
void dfs2(int u,int up){
top[u]=up;dfn[u]=++cnt;
if (son[u]) dfs2(son[u],up);else End[top[u]]=cnt;
for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
if (to[e]!=fa[u]&&to[e]!=son[u])
dfs2(to[e],to[e]);
}
void dfs(int u){
if (son[u]) dfs(son[u]),dp[u]+=dp[son[u]];else dp[u]=1e9;
for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
if (to[e]!=fa[u]&&to[e]!=son[u])
dfs(to[e]),dp[u]+=dp[to[e]],val[dfn[u]].g+=dp[to[e]];
dp[u]=min(dp[u],a[u]);
}
void build(int x,int l,int r){
if (l==r) {t[x]=val[l];return;}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r);
t[x]=t[x<<1]+t[x<<1|1];
}
void modify(int x,int l,int r,int p){
if (l==r) {t[x]=val[l];return;}
int mid=l+r>>1;
if (p<=mid) modify(x<<1,l,mid,p);
else modify(x<<1|1,mid+1,r,p);
t[x]=t[x<<1]+t[x<<1|1];
}
data query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if (l>=ql&&r<=qr) return t[x];
int mid=l+r>>1;
if (qr<=mid) return query(x<<1,l,mid,ql,qr);
if (ql>mid) return query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
return query(x<<1,l,mid,ql,qr)+query(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
}
void work(int u,ll v){
val[dfn[u]].v+=v;ll t=0;
while (u){
t=query(1,1,n,dfn[top[u]],End[top[u]]).v;
modify(1,1,n,dfn[u]);
v=query(1,1,n,dfn[top[u]],End[top[u]]).v-t;
u=fa[top[u]];val[dfn[u]].g+=v;
}
}
int main(){
n=gi();
for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi();
for (int i=1;i<n;++i){
int u=gi(),v=gi();
link(u,v);link(v,u);
}
dfs1(1,0),cnt=0,dfs2(1,1),dfs(1);
for (int i=1;i<=n;++i) val[dfn[i]].v=a[i];
build(1,1,n);char op;int u,v;
q=gi();while (q--){
op=getchar();while (op!='C'&&op!='Q') op=getchar();
if (op=='C') u=gi(),v=gi(),work(u,v);
else u=gi(),printf("%lld\n",query(1,1,n,dfn[u],End[top[u]]).v);
}
return 0;
}
