带花树总结

带花树

前置技能

匈牙利算法（二分图最大匹配）

为什么要有带花树

考虑一下二分图和一般图的最大区别（或者说唯一的区别在哪里）。
二分图没有奇环（也就是长度为奇数的环），而一般图是可以有的。
所以匈牙利算法中的寻找增广路然后路径取反的方法在一般图上就不适用了。

主要还是要解决奇环的问题。
我们发现一个奇环里至少有一个点不能匹配，那就干脆把一个奇环缩成一个点（开花）？
在处理到奇环的时候把它缩成一个点，路径取反的时候再暴力展开一个个取反。

算法流程

我们给所有点黑白染色。假设开始增广的点是黑点。
把所有黑点压进队列中顺次处理。对于一个黑点\(u\)，找与他相邻的点\(v\)，会出现一下几种情况：

1、\(u,v\)已经被缩成一个点了（这两个点在一朵花里），不管他。

2、\(v\)是白点，说明已经被匹配了，也不管。

3、\(v\)还没有被染色。那就先把这个点染成白的，然后尝试去与他匹配。如果\(v\)还没有匹配就匹配上，增广成功，然后一路跳回取反。如果\(v\)已经被匹配了，那么匹配他的点就是个黑点，染色，然后压进队列。

4、\(v\)也是黑点。这时候染色发生了冲突，说明遇见了奇环。这时候就需要找到两个点的\(lca\)，然后把这整个环缩成一个点。美其名曰，开花。

怎么开花

开花的时候大致要做这么几件事：（摘自无向图匹配的带花树算法）
１。找\(x\)和\(y\)的\(LCA\)（的根）\(p\)。找\(LCA\)可以用各种方法。。。直接朴素也行。
２。在\(pre\)数组中把\(x\)和\(y\)接起来（表示它们形成环了！）
３。从\(x\)、\(y\)分别走到\(p\)，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把\(pre\)数组接起来。

code

UOJ79 一般图最大匹配

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 505;
int n,m,to[N*N<<1],nxt[N*N<<1],head[N],cnt;
int match[N],pre[N],vis[N],fa[N],tim[N],idx,ans;
queue<int>Q;
int link(int u,int v){to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;}
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int lca(int x,int y)
{
	for (++idx;;swap(x,y))
		if (x)
		{
			x=find(x);
			if (tim[x]==idx) return x;
			else tim[x]=idx,x=pre[match[x]];
		}
}
void blossom(int x,int y,int p)
{
	while (find(x)!=p)
	{
		pre[x]=y;y=match[x];
		if (vis[y]==2) vis[y]=1,Q.push(y);
		if (find(x)==x) fa[x]=p;
		if (find(y)==y) fa[y]=p;
		x=pre[y];
	}
}
int Aug(int S)
{
	for (int i=1;i<=n;++i)
		vis[i]=pre[i]=0,fa[i]=i;
	while (!Q.empty()) Q.pop();
	Q.push(S);vis[S]=1;
	while (!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
		{
			int v=to[e];
			if (find(u)==find(v)||vis[v]==2) continue;
			if (!vis[v])
			{
				vis[v]=2;pre[v]=u;
				if (!match[v])
				{
					for (int x=v,lst;x;x=lst)
						lst=match[pre[x]],match[x]=pre[x],match[pre[x]]=x;
					return 1;
				}
				vis[match[v]]=1,Q.push(match[v]);
			}
			else
			{
				int gg=lca(u,v);
				blossom(u,v,gg);blossom(v,u,gg);
			}
		}
	}
	return 0;
}
int main()
{
	n=gi();m=gi();
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=gi(),v=gi();
		link(u,v);link(v,u);
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) if (!match[i]) ans+=Aug(i);
	printf("%d\n",ans);
	for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",match[i]);
	puts("");return 0;
}