回文树总结

回文树总结

写马拉车还不如写回文树。
---BY 陈菊开

回文树是啥

原论文请转2017年集训队论文《回文树及其应用》BY翁文涛

我感觉回文树/回文自动机相较于后缀自动机还是要好理解一点的（像我这种菜鸡到现在还不是很懂SAM）。
回文树，顾名思义，就是要把一个串的所有回文子串丢到一棵树上。那要向SAM一样记录个什么鬼\(endpos\)啥的吗？不用。只需要对每一种本质不同的回文子串建一个节点就可以了。（“本质不同”指的是长度不同或是内容不同，与出现位置无关）

对于一个节点，也就是一个回文子串，我们需要对他记录以下信息：

\(len\)：就是这个回文子串的长度
\(tr_c\)：在这个回文串的两边分别加上一个字符\(c\)后形成的回文串
\(fail\)：这个回文串的最长回文后缀

为了方便表示回文树的结构，我们额外定义了两个根节点，\(odd\)和\(even\)。其中\(even\)是一个长度为\(0\)的空串，\(odd\)是一个不存在的长度为\(-1\)的串。
这样的定义可以让任何一个回文子串都存在\(fail\)。比如说，串\(babbab\)的\(fail\)是\(bab\)，串\(aba\)的\(fail\)是\(a\)，串\(aa\)的\(fail\)是\(even\)，串\(b\)的\(fail\)是\(odd\)。特别的，定义\(even\)的\(fail\)是\(odd\)，\(odd\)的\(fail\)还是\(odd\)。

可以通过数学归纳法证明：一个串中本质不同的回文子串的个数是\(O(n)\)级别的。

考虑在原串\(S\)后面插入一个字符\(c\)，这样就可能新形成若干以这个新字符\(c\)结尾的回文后缀。由于结束位置相同，所以较短的回文后缀也是较长的回文后缀的后缀。其中必然存在一个长度最长的回文后缀，所有其他的回文后缀都是他的后缀。
那么这时候考虑一个回文串的基本性质：后缀等于前缀（长度相同的情况下）。
所以既然所有其他回文后缀都是最长回文后缀的后缀，那么他们就也是这个最长回文后缀的前缀。
既然是前缀，那么就说明他们在之前的位置已经出现过了。
由此可以说明，在加入一个字符后，至多增加一个本质不同的回文子串。所以数量是\(O(n)\)级别的。
这样你已经知道了回文树/回文自动机的基本原理。但这还不够，因为你还得知道——

怎么写

这样写

struct Palindromic_Tree{
	int last,tot,tr[N][26],fa[N],len[N];
	void init(){fa[0]=fa[1]=1;len[tot=1]=-1;}
	void extend(int c,int n,char *s)
		{
			int v=last;
			while (s[n-len[v]-1]!=s[n]) v=fa[v];
			if (!tr[v][c])
			{
				int u=++tot,k=fa[v];
				len[u]=len[v]+2;
				while (s[n-len[k]-1]!=s[n]) k=fa[k];
				fa[u]=tr[k][c];tr[v][c]=u;
			}
			last=tr[v][c];
		}
};

其中\(0\)表示\(even\)，\(1\)表示\(odd\)。
是不是特别好写？

怎么用

这个嘛。。。
你可以求以某一个位置结尾的最长回文后缀的长度（就是\(len_{last}\)）
你把后缀树建出来再维护一个\(dep\)就可以知道有多少个回文串（不同位置的算不同的）
等等一些骚操作
鉴于我题做的还不是很多所以以后再补（也可能是永远都不会补了）