[BZOJ4827][HNOI2017]礼物

BZOJ
Luogu
题意：
给定\(n\)，\(m\)，\(x_i\)，\(y_i\)，求\(\sum_{i=1}^{n}(x_{i+k}-y_i+c)^2\)的最小值（其中\(k\in[0,n)\)，\(c\in[-m,m]\)）
上面的表述是默认\(x_{i+n}=x_i\)，因为这是一个环呀

sol

那个。。。关于\(c\in[-m,m]\)应该没什么问题吧。就是说\(c\)显然不会无限增大，当\(c>m\)或\(c<-m\)时\(c\)再增大或者减小就没有任何意义了（因为其中一个手环的亮度值已经完全大于另一个）

首先我们大力拆式子
原式=

\[\sum_{i=1}^{n}[x_{i+k}^2+y_i^2+c^2-2*x_{i+k}y_i+2*(x_{i+k}-y_i)*c] \]

把外面的\(\sum\)拆了

\[=\sum_{i=1}^{n}x_i^2+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n*c^2-2\sum_{i=1}^{n}x_{i+k}y_i+2(\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}y_i)*c \]

发现\(k\)跟\(c\)没什么关系，所以我们把关于\(k\)和\(c\)的分别提出来就可以了。
我们从容易的入手。
与\(c\)和\(k\)都没关系的项：

\[\sum_{i=1}^{n}x_i^2+\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \]

直接\(O(n)\)搞出来不解释。
与\(c\)有关的项：

\[n*c^2+2(\sum_{i=1}^{n}x_i-\sum_{i=1}^{n}y_i)*c \]

那个系数先\(O(n)\)搞出来，再直接枚举\(c\)做\(O(m)\)的计算即可。
与\(k\)有关的项：

\[\sum_{i=1}^{n}x_{i+k}y_i \]

我们需要最大化这个东西（因为前面是减号嘛）
我们往FFT上面靠
我们把\(y\)反过来，上式变成

\[\sum_{i=1}^{n}x_{i+k}y_{n-i+1} \]

发现这个是\(x\)与\(y\)的卷积的第\(n+k+1\)次项系数！
所以直接求\(x\)和\(y\)的卷积然后在系数里面取个\(\max\)即可。注意\(x\)要倍长，\(y\)要反向。
最后把所有的东西加在一起即可。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<complex>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAX = 300005;
const double Pi = acos(-1);
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int N,M,n,m,x[MAX],y[MAX],r[MAX],l,k;
complex<double>a[MAX],b[MAX];
ll tot,ans;
void FFT(complex<double>*P,int opt)
{
	for (int i=1;i<n;i++)
		if (i<r[i]) swap(P[i],P[r[i]]);
	for (int i=1;i<n;i<<=1)
	{
		complex<double>W(cos(Pi/i),opt*sin(Pi/i));
		for (int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p)
		{
			complex<double>w(1,0);
			for (int k=0;k<i;k++,w*=W)
			{
				complex<double>X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];
				P[j+k]=X+Y;P[j+k+i]=X-Y;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	N=gi();M=gi();
	for (int i=1;i<=N;i++) x[i]=gi();
	for (int i=1;i<=N;i++) y[i]=gi();
	for (int i=1;i<=N;i++)
		tot+=x[i]*x[i]+y[i]*y[i],k+=x[i]-y[i];
	for (int i=1;i<=N;i++)
		a[i]=a[i+N]=x[i],b[i]=y[N-i+1];
	m=3*N;
	for (n=1;n<=m;n<<=1) l++;l--;
	for (int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	FFT(a,1);FFT(b,1);
	for (int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,-1);
	for (int i=0;i<N;i++) ans=max(ans,(ll)(a[N+i+1].real()/n+0.5));
	tot-=2*ans;ans=1e18;
	for (int c=-M;c<=M;c++)
		ans=min(ans,tot+N*c*c+2*k*c);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}