[BZOJ2324][ZJOI2011]营救皮卡丘

题面戳我

Description

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

Input

第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。

Output

仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

Sample Input

3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1

Sample Output

3

【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。

HINT

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。

sol

K路径覆盖问题，cls以前讲过的题目，还是蛮有代表性的。
由于\(n\le 150\)所以我们考虑先\(Floyed\)求出任意两点之间的最短路。这里要注意一下，在松弛的时候一定要保证\(k\le \max(i,j)\)，因为不能走后面的点啦。
求出来以后就好办了，以下是具体建图：
1、\(S\)向0号点连容量为\(K\)，费用为0
2、\(1-n\)每个点拆成两个点，\(S\)向\(i\)连容量为1费用为0，\(i'\)向\(T\)连容量为1费用为0
3、所有的有序对\((i,j)\)其中\(i<j\)(包括0)，\(i\)向\(j'\)连容量为1费用为\(i\)到\(j\)最短路。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf = 1e9;
const int N = 500;
struct edge{int to,next,w,cost;}a[N*N];
int n,m,K,len[N][N],S,T,head[N],cnt=1,dis[N],vis[N],pe[N],ans;
queue<int>Q;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
void link(int u,int v,int w,int cost)
{
	a[++cnt]=(edge){v,head[u],w,cost};
	head[u]=cnt;
	a[++cnt]=(edge){u,head[v],0,-cost};
	head[v]=cnt;
}
bool spfa()
{
	for (int i=0;i<=T;i++) dis[i]=inf;
	dis[S]=0;Q.push(S);
	while (!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
		{
			int v=a[e].to;
			if (a[e].w&&dis[v]>dis[u]+a[e].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+a[e].cost;pe[v]=e;
				if (!vis[v]) vis[v]=1,Q.push(v);
			}
		}
		vis[u]=0;
	}
	if (dis[T]==inf) return false;
	int sum=inf;
	for (int i=T;i!=S;i=a[pe[i]^1].to)
		sum=min(sum,a[pe[i]].w);
	ans+=sum*dis[T];
	for (int i=T;i!=S;i=a[pe[i]^1].to)
		a[pe[i]].w-=sum,a[pe[i]^1].w+=sum;
	return true;
}
int main()
{
	n=gi();m=gi();K=gi();
	S=2*n+1;T=S+1;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		for (int j=0;j<=n;j++)
			len[i][j]=(i==j)?0:inf;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=gi(),v=gi(),l=gi();
		len[u][v]=len[v][u]=min(len[u][v],l);
	}
	for (int k=0;k<=n;k++)
		for (int i=0;i<=n;i++)
			for (int j=0;j<=n;j++)
				if (k<=max(i,j))
					len[i][j]=min(len[i][j],len[i][k]+len[k][j]);
	link(S,0,K,0);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		link(S,i,1,0),link(i+n,T,1,0);
	for (int i=0;i<=n;i++)
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			if (len[i][j]!=inf)
				link(i,j+n,1,len[i][j]);
	while (spfa()) ;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}