Codeforces Round 987 (Div. 2)

Codeforces Round 987 (Div. 2) 总结

A

常见的套路，将一个序列变为不下降序列所需要改变的值的最小数量，考虑最大能保留多少个，显然是求最长上升子序列，而这题给出的 $a$ 序列保证不上升，所以只需要考虑相同长度的一段。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int ans=0,len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]!=a[i-1]) ans=max(ans,len),len=1;
        else len++;
    }
    ans=max(ans,len);
    cout<<n-ans<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

B

考虑每个数 $p_i$ 能否移动到 $i$ 位置。
首先能交换的值只有 $p_i-1$ 和 $p_i+1$，显然不能连续移动两次，不然比 $p_i$ 大或小 $1$ 的数一定不会到该到的位置。因此最多交换一次。再看是否能交换到自己想要的位置，如果有一个不能，那就不可行。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int st=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]<i&&!(i-a[i]==1&&a[a[i]]==a[i]+1)) st=0;  
        else if(a[i]>i&&!(a[i]-i==1&&a[a[i]]==a[i]-1)) st=0;
    }
    if(st) cout<<"Yes\n";
    else cout<<"No\n";
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

C

构造题，思路还是比较清晰的。

首先不难想到 $1,1,2,2,3,3,\dots$ 这样的情况，所以 $n$ 为偶数时一定成立。

再考虑奇数，由于任意两个相同的馅料之间的距离都要是完全平方数，考虑三个相同的，位置为 $x,y,z$，满足 $y-x=a^2$，$z-y=b^2$，$z-x=c^2$，且 $a,b,c$ 都为正整数，因此有 $c^2=a^2+b^2$。
考虑最小的勾股数 $3,4,5$。令 $x=1,y=10,z=26$，这样剩下的位置就是偶数个，比较好构造了。下面给出一种构造方案：

$$1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,13,13,1,12,\dots$$

后面就按偶数的接下去就行了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int n;
int a[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    if(n%2==0)
    {
        int cnt=1;
        for(int i=1;i<=n;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
    }
    else 
    {
        if(n>=27)
        {
            a[1]=a[10]=a[26]=1;
            int cnt=1;
            for(int i=2;i<=8;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
            for(int i=11;i<=21;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
            a[23]=a[27]=++cnt;
            a[24]=a[25]=++cnt;
            for(int i=28;i<=n;i+=2) a[i]=a[i+1]=++cnt;
        }
        else 
        {
            cout<<-1<<'\n';
            return ;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
    cout<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

D

赛时的清奇想法。

首先发现能跳跃的两个位置是逆序对，因此考虑用并查集维护，并记录集合内最大值与最小值。

再考虑这样一种做法，先遍历一遍数组，目前遇到的最大值为 $x$，下标为 $id$，加入一个数 $a_i$。

• 若 $a_i>=x$ 更新 $x$ 和 $id$。
• 若 $a_i<x$ 那么就合并 $i$ 和 $id$。

以最后一组样例为例：

用 $m{x}_i$ 表示集合 $i$ 中最大的 $a_i$，$m{i}_i$ 表示最小值。

然后考虑合并不同集合，从后往前，如果出现两个不同集合 $i,j$ 且 $i<j$。由前面的过程易知 $m{x}_i\le m{x}_j$，如果 $m{x}_i>m{i}_j$，就说明这两个集合可以合并。
那有没有可能出现不是相邻的集合合并呢？答案是否定的，考虑 $k,i,j$ 三个集合，$m{x}_k\le m{x}_i\le m{x}_j$，如果 $i$ 与 $j$ 不能合并，则 $m{x}_i\le m{i}_j$，就会有 $m{x}_k\le m{x}_i\le m{i}_j$，显然 $k$ 与 $j$ 不能合并。因此每个集合都只能和相邻的集合合并。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
int n;
int a[N],ans[N];
int fa[N],mi[N],mx[N];
int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
    x=fa[x],y=fa[y];
    fa[y]=x;
    mi[x]=min(mi[x],mi[y]);
    mx[x]=max(mx[x],mx[y]);
}
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>a[i];
        fa[i]=i;
        mi[i]=mx[i]=a[i];
    }
    int x=a[1],id=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    {
        if(a[i]<x) merge(id,i);
        else x=a[i],id=i;
    }
    
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        if(find(i)!=find(i+1)&&mi[find(i+1)]<mx[find(i)])
            merge(i,i+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<mx[find(i)]<<' ';
    cout<<'\n';
}
int main ()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    freopen("1.out","w",stdout);
    #endif 
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}