lowbit

lowbit 函数

定义

lowbit(n) 定义为非负整数 $n$ 在二进制表示下最低位的 $1$ 所对应的值。

任一非负整数都可被表示一个二进制数：

$$(5{)}_{10}=(101{)}_2$$

$$(6{)}_{10}=(110{)}_2$$

而 lowbit 是这样的，设一个非负整数 $n$ 在二进制表示下最低位的 $1$ 为从左往右数第 $k$ 位，$lowbit(n)=2^{k-1}$。

例如：

$$lowbit(5)=(1{)}_2=(1{)}_{10}$$

$$kowbit(6)=(10{)}_2=(2{)}_{10}$$

实现

lowbit(n)=n&(-n)

设 $n$ 为非负整数，二进制下第 $k$ 位为 $1$，第 $1$ 到 $k-1$ 位为 $0$。
拿 $(14{)}_{10}=(01110{)}_2$ 来举例：

先将 $14$ 取反，取反后为 $(10001{)}_2$，再加 $1$，变为 $(10010{)}_2$。这时候与原来相比，只有第 $1$ 到 $2$ 位相同，其他相反，再相与，最终得到的就是 $lowbit(n)$。

而在补码表示下 ~n=-1-n，即 -n=~n+1，所以 lowbit(n)=n&(-n)。

应用

统计 1 的个数

一直进行 lowbit，不断减去直到为 $0$。

while(x)
{
    x-=x&-x;
    cnt++;
}

找出所有为 1 的位

lowbit 配合 hash，即可做到找出所有为 1 的位。

const int N=1<<20;
int H[N+5];
for(int i=0;i<=20;i++) H[1<<i]=i;//代替 log 运算
while(x)
{
    cout<<H[x&-x]<<" ";
    x-=x&-x;
}