lowbit

lowbit 函数

定义

lowbit(n) 定义为非负整数 \(n\) 在二进制表示下最低位的 \(1\) 所对应的值。

任一非负整数都可被表示一个二进制数：

\[(5)_{10}=(101)_2 \]

\[(6)_{10}=(110)_2 \]

而 lowbit 是这样的，设一个非负整数 \(n\) 在二进制表示下最低位的 \(1\) 为从左往右数第 \(k\) 位，\(lowbit(n)=2^{k-1}\)。

例如：

\[lowbit(5)=(1)_{2}=(1)_{10} \]

\[kowbit(6)=(10)_{2}=(2)_{10} \]

实现

lowbit(n)=n&(-n)

设 \(n\) 为非负整数，二进制下第 \(k\) 位为 \(1\)，第 \(1\) 到 \(k-1\) 位为 \(0\)。
拿 \((14)_{10}=(01110)_{2}\) 来举例：

先将 \(14\) 取反，取反后为 \((10001)_{2}\)，再加 \(1\)，变为 \((10010)_{2}\)。这时候与原来相比，只有第 \(1\) 到 \(2\) 位相同，其他相反，再相与，最终得到的就是 \(lowbit(n)\)。

而在补码表示下 ~n=-1-n，即 -n=~n+1，所以 lowbit(n)=n&(-n)。

应用

统计 1 的个数

一直进行 lowbit，不断减去直到为 \(0\)。

while(x)
{
    x-=x&-x;
    cnt++;
}

找出所有为 1 的位

lowbit 配合 hash，即可做到找出所有为 1 的位。

const int N=1<<20;
int H[N+5];
for(int i=0;i<=20;i++) H[1<<i]=i;//代替 log 运算
while(x)
{
    cout<<H[x&-x]<<" ";
    x-=x&-x;
}