矩阵乘法

矩阵乘法

前言

矩阵乘法属于数论中的知识点，其实也就是新的概念，就像向量的运算一样，接受了之后就好了，当然可能会容易忘记，所以还是要多用多练。

基本概念

• 矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

形如

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]$$

矩阵就是多个数的集合。其中行数和列数相等（即 $m=n$ ）的矩阵叫做方阵。

当两个矩阵的行数和列数分别相等时，这两个矩阵叫做同型矩形。

定义 $A^0$ 为单位矩阵 $I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$。

矩阵乘法

• 前提：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。

两个大小分别为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 的矩阵 $A,B$ 相乘的结果为一个大小为 $m\times p$ 的矩阵。将结果矩阵记作 $C$，则

$$c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}\text{ , (}1\le i\le m\text{, }1\le j\le p\text{).}$$

展开来：$c_{i,j}=a_{i,1}\times b_{1j}+a_{i,2}\times b_{2,j}+\cdots +a_{i,k}\times b_{k,j}$

如：
$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 4& 2\end{array}\right]\text{ , }B=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\\ 1& 4\end{array}\right]\text{ , }C=A\ast B=\left[\begin{array}{cc}1\ast 3+2\ast 5+3\ast 1& 1\ast 2+2\ast 4+3\ast 4\\ 1\ast 3+4\ast 5+2\ast 1& 1\ast 2+4\ast 4+2\ast 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}16& 22\\ 25& 26\end{array}\right]$

在计算时，我们要把行和列当做整体：

$A=\left[\begin{array}{c}\mathrm{行}1\\ \mathrm{行}2\end{array}\right]\text{ , }B=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{列}1& \mathrm{列}2\end{array}\right]\text{ , }C=A\ast B=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{行}1\ast \mathrm{列}1& \mathrm{行}1\ast \mathrm{列}2\\ \mathrm{行}2\ast \mathrm{列}1& \mathrm{行}2\ast \mathrm{列}2\end{array}\right]$

行 * 列，为行和列对应位置元素的乘积之和。

此外，对于单位矩阵 $I$ 而言，有 $A\ast I=A$

矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律（元素位置会不同）：

• $(AB)C=A(BC)$
• $(A+B)C=AC+BC$
• $AB\ne BA$

B2105 矩阵乘法

B2105 矩阵乘法

分析

基础题，按照定义来做，理解概念即可。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105;

int n,m,k,a[N][N],b[N][N],c[N][N];

int main ()
{
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>a[i][j];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=k;j++)
			cin>>b[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=k;j++)
			for(int l=1;l<=m;l++)
				c[i][j]+=a[i][l]*b[l][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=k;j++)	cout<<c[i][j]<<" ";	
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

P3390 【模板】矩阵快速幂

P3390 【模板】矩阵快速幂

分析

矩阵快速幂=矩阵乘法+快速幂。

由于矩阵乘法满足结合律，所以只需要将快速幂里的乘法改为矩阵乘法就可以了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105,mod=1e9+7;
int n;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;//matrix
mat mul(mat a,mat b)
{
	mat ans(a.size(),vec(b[0].size()));//行数为a的行数，列数为b的列数
	for(int i=0;i<a.size();i++)
		for(int j=0;j<b[0].size();j++)
		{
			for(int k=0;k<b[0].size();k++) ans[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%mod;
			ans[i][j]%=mod;
		}
	return ans;
}
mat qmod(mat a,ll k)
{
	mat ans(a.size(),vec(a.size()));
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i][i]=1;//初始化为单位矩阵
	while(k)
	{
		if(k&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll k;
	cin>>n>>k;
	mat a(n,vec(n));
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			cin>>a[i][j];
	mat ans=qmod(a,k);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++) cout<<ans[i][j]%mod<<" ";
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
} 

P1939 矩阵加速（数列）

P1939 矩阵加速（数列）

分析

$a_x$ 是由 $a_{x-1}$ 和 $a_{x-3}$ 推导来的。因此我们要求一个矩阵 $base$ 使得 $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x-1}& a_{x-2}& a_{x-3}\end{array}\right]\times base=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& a_{x-1}& a_{x-2}\end{array}\right]$。这是基本套路，因为我们要利用 $base$ 矩阵不断向后推导得到答案。则有：

• $a_x=a_{x-1}\times 1+a_{x-2}\times 0+a_{x-3}\times 1$
• $a_{x-1}=a_{x-1}\times 1+a_{x-2}\times 0+a_{x-3}\times 0$
• $a_{x-2}=a_{x-1}\times 0+a_{x-2}\times 1+a_{x-3}\times 0$

$$base=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

可以看出 $a_x$ 是根据公式推导的，而 $a_{x-1}$ 和 $a_{x-2}$ 是直接继承的。

显然，$bas{e}^{x-1}$ 的第一行第一列元素就是 $a_x$，用矩阵快速幂就可以了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105,mod=1e9+7;
int n;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;//matrix
mat mul(mat a,mat b)
{
	mat ans(a.size(),vec(b[0].size()));//行数为a的行数，列数为b的列数
	for(int i=0;i<a.size();i++)
		for(int j=0;j<b[0].size();j++)
		{
			for(int k=0;k<b[0].size();k++) ans[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%mod;
			ans[i][j]%=mod;
		}
	return ans;
}
mat qmod(mat a,ll k)
{
	mat ans(a.size(),vec(a.size()));
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i][i]=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll k;
	int t;
	n=3;
	cin>>t;
	mat a(n,vec(n));
	while(t--)
	{
		cin>>k;
		if(k<=3)
		{
			cout<<1<<"\n";
			continue;
		}
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				a[i][j]=0;
		a[0][0]=a[0][2]=a[1][0]=a[2][1]=1;
		mat ans=qmod(a,k-1);
		cout<<ans[0][0]<<"\n";
	}
	return 0;	
} 

P1962 斐波那契数列

P1962 斐波那契数列

分析

同P1939 矩阵加速（数列），求矩阵 $base$ 使得 $\left[\begin{array}{cc}{F}_{x-1}& F_{x-2}\end{array}\right]\times base=\left[\begin{array}{cc}{F}_x& F_{x-1}\end{array}\right]$，则：

• $F_x=F_{x-1}\times 1+F_{x-2}\times 1$
• $F_{x-1}=F_{x-1}\times 1+F_{x-2}\times 0$

$$base=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

$bas{e}^{x-1}$ 的第一行第一列元素就是 $F_x$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=105,mod=1e9+7;
int n;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;//matrix
mat mul(mat a,mat b)
{
	mat ans(a.size(),vec(b[0].size()));//行数为a的行数，列数为b的列数
	for(int i=0;i<a.size();i++)
		for(int j=0;j<b[0].size();j++)
		{
			for(int k=0;k<b[0].size();k++) ans[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%mod;
			ans[i][j]%=mod;
		}
	return ans;
}
mat qmod(mat a,ll k)
{
	mat ans(a.size(),vec(a.size()));
	for(int i=0;i<n;i++) ans[i][i]=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll k;
	n=2;
	cin>>k;
	mat a(n,vec(n));
	if(k<=2)
	{
		cout<<1<<"\n";
		return 0;
	}
	a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;
	mat ans=qmod(a,k-1);
	cout<<ans[0][0]<<"\n";
	return 0;
} 

写起来挺累的 qwq。