[思考] 证明：B-Tree 的失败节点的数量为树中关键字的总数加一。

① 一个节点 $i$ 的度等于其关键字数量加一，即

$${\mathrm{deg}}_i={\mathrm{keynum}}_i+1$$

根据 B-Tree 的定义可得。

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② 深度为 $h$ 的所有节点的总度数 ${\mathrm{Deg}}_h$ 为该层节点总关键字数 ${\mathrm{Keynum}}_h$ 加上前一层节点的总度数 ${\mathrm{Deg}}_{h-1}$，即

$${\mathrm{Deg}}_h={\mathrm{Keynum}}_h+{\mathrm{Deg}}_{h-1}$$

边界条件 ${\mathrm{Deg}}_1={\mathrm{Keynum}}_1+1$

证明：因为深度为 $h$ 的节点共有 ${\mathrm{Deg}}_{h-1}$ 个，根据 ① 可以列出相应数量的式子，求和即可得到上式。

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③ 失败节点的数量等于 ${\mathrm{Deg}}_H$（$H$ 为树的高度），利用 ② 中的递推关系可以计算出：

$${\mathrm{Deg}}_H=(\sum _{i=1}^H{\mathrm{Keynum}}_h)+1$$

证毕。

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顺便提一下 B-Tree 的删除操作，如果觉得很难理解的话，可以试着参考平衡二叉树的 “旋转” 操作，你会发现有很多地方是相通的。

以及推荐一个不错的 B-Tree 可视化工具：B-Tree Visualization