[思考] 证明：B-Tree 的失败节点的数量为树中关键字的总数加一。

① 一个节点 \(i\) 的度等于其关键字数量加一，即

\[\mathrm{deg}_i=\mathrm{keynum}_i+1 \]

根据 B-Tree 的定义可得。

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② 深度为 \(h\) 的所有节点的总度数 \(\mathrm{Deg}_h\) 为该层节点总关键字数 \(\mathrm{Keynum}_h\) 加上前一层节点的总度数 \(\mathrm{Deg}_{h-1}\)，即

\[\mathrm{Deg}_h = \mathrm{Keynum}_h + \mathrm{Deg}_{h-1} \]

边界条件 \(\mathrm{Deg}_{1}=\mathrm{Keynum}_1 + 1\)

证明：因为深度为 \(h\) 的节点共有 \(\mathrm{Deg}_{h-1}\) 个，根据 ① 可以列出相应数量的式子，求和即可得到上式。

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③ 失败节点的数量等于 \(\mathrm{Deg}_H\)（\(H\) 为树的高度），利用 ② 中的递推关系可以计算出：

\[\mathrm{Deg}_H = (\sum\limits_{i=1}^{H}\mathrm{Keynum}_h)+1 \]

证毕。

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顺便提一下 B-Tree 的删除操作，如果觉得很难理解的话，可以试着参考平衡二叉树的 “旋转” 操作，你会发现有很多地方是相通的。

以及推荐一个不错的 B-Tree 可视化工具：B-Tree Visualization