[CP] 证明：在 1 ~ n 中选取互异的两个整数，它们的最大公因数必定小于等于 n / 2（向下取整）

在做 C. Yet Another Permutation Problem 的时候大胆猜测了如标题所述的结论（也不能说是猜测，只是找不到反例，所以就默认它是对的了），最终将题目成功做出。

我个人不太喜欢 “不明不白” 做出来的题目，必须把每一处细节都搞清楚，因此接下来对该结论进行证明。

证明： $\mathrm{\forall }a,b\in [1,n],n\ge 2$ 且 $a,b\in \mathbb{Z}$, $a\ne b$，必有 $gcd(a,b)\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。

使用反证法，假设 $\mathrm{\exists }a,b\in [1,n],n\ge 2$ 且 $a,b\in \mathbb{Z}$, $a\ne b$，有 $gcd(a,b)>\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。

记 $x=gcd(a,b)$。

不失一般性，令 $a<b$。由最大公因数的性质得：$x<a<b$。

结合前面的假设，得到：$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor <x<a<b\le n$，根据最大公因数的定义，由：

$$\{\begin{array}{l}a=k_1\cdot x\\ b=k_2\cdot x\end{array}$$

其中，$k_1,k_2\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 。因为 $a<b$，所以 $1\le k_1<k_2$，可以推出 $k_2\ge 2$。

故 $b\ge 2x>2\cdot \lfloor \frac{n}{2}\rfloor =\{\begin{array}{ll}n-1& ,2\text{⧸}|n\\ n& ,2|n\end{array}$

当 $n$ 为奇数时，$b>n-1$，那么 $b$ 只能取 $n$，此时 $x>\lfloor \frac{n}{2}\rfloor =\frac{n-1}{2}$，因而 $k_2=\frac{n}{x}<\frac{2n}{n-1}\le 3$，所以 $k_2$ 只能取 $2$，但这样的话 $b$ 就变成了偶数，矛盾；$n$ 为偶数时，$b>n$，矛盾。

综上，无论如何都会得到矛盾的结果，因此 $\mathrm{\forall }a,b\in [1,n],n\ge 2$ 且 $a,b\in \mathbb{Z}$, $a\ne b$，必有 $gcd(a,b)\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。

虽然有点冗长，不过起码证出来了。官方解法中对于这部分的证明有点随意，算是对它的补充。