[CP / Codeforces] B. Playing with GCD (Div. 2)

B. Playing with GCD

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分析

尽管难度只有 1200*，不过是一道很有意思的题目，而且我的水平也就 1300*。

题目大意是给你一个有 $n$ 个元素的数组 $a$，让你判断是否存在数组 $b$ 使得 $a_i=gcd(b_i,b_{i+1})$ 恒成立。

一开始我毫无思路。

这种情况持续了至少半个小时。

不过，总得有思路吧？

我想，最笨的方法，能不能一个元素一个元素地把数组 $b$ 构造出来？

就比如对于 $a_1$，肯定可以找到 $b_1$ 和 $b_2$，使 $a_1=gcd(b_1,b_2)$ 成立，比如取 $b_1=a_1$，$b_2=2a_1$。

接下来，我们需要构造合适的 $b_3$，使得 $a_2=gcd(b_2,b_3)$，其中 $a_2,b_2$ 都已确定。

问题来了，$b_2$ 是我们根据 $a_1$ 构造的，它只包含有关 $a_1$ 的信息，而且我们不能修改它——它是已经确定的值。那么，很有可能会出现这种情况：无论如何选取 $b_3$，都无法满足 $a_2=gcd(b_2,b_3)$。话虽如此，我们却不能断定数组 $b$ 不存在，如果更换初始构造的 $b_1,b_2$，或许又会存在合法的 $b_3$……

我得出结论：“一个元素一个元素地把数组 $b$ 构造出来” 并不可行。为什么？因为初始条件太难确定了。一开始选择的 $b_1,b_2$ 会影响到后续全部元素的构造，借用动态规划的术语，就是“有后效性”。

转换思路。我们的目标是“判断是否存在满足条件的数组 $b$”。如果能将这一目标等价转换为更容易判断的形式，就能解决此问题。

因此，需要观察数组 $b$ 的性质。用英文来说，我们需要 "make observations"。（如果你经常看 Codeforces 的官方题解，或是一些外国教材、论文等，你会发现 "observation" 这个词出现得很频繁。很多时候，当结论或是推论并不是那么显而易见时，切中要害的 observation 就非常关键！）

Observation 1：$\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})|b_{i+1}$

由题目要求得 $a_i=gcd(b_i,b_{i+1})$, $a_{i+1}=gcd(b_{i+1},b_{i+2})$，
注意到 $b_{i+1}$ 在两个式子里都出现了，所以 $a_i,a_{i+1}$ 都是 $b_{i+1}$ 的因子，那么就有 $\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})|b_{i+1}$。

Observation 2：$a_i=gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i),\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1}))$

由前一个 observation 我们知道 $b_{i+1}$ 可以写成形如 $\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})\cdot x$ 的形式，其中 $x$ 是一个正整数。

代入题目要求的式子，有：

$$\begin{array}{c}{a}_i=gcd(b_i,b_{i+1})\\ ⟺\\ a_i=gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i)\cdot x,\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})\cdot y)\end{array}$$

关键的一步来了。我们知道：两个数的最大公因数是它们的公因数中最大的那个（好像什么都没说），而 $a_i$ 正是 $\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i)$ 和 $\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})$ 的公因数，所以 $gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i),\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1}))\ge a_i$。

分类讨论：

如果 $gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i),\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1}))=a_i$，很好，正是所我们期待的结果，只需令 $x=1,y=1$ 即可，此时 $b_i=\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i)$，$b_{i+1}=\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})$。

如果 $gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i),\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1}))>a_i$，那么就有 $gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i)\cdot x,\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})\cdot y)>a_i$，也就是说，无论如何选择 $x,y$ 都没法让 $a_i=gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i)\cdot x,\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1})\cdot y)$ 成立。

综上，如果存在满足题目要求的数组 $b$，那么必有 $a_i=gcd(\mathrm{lcm}(a_{i-1},a_i),\mathrm{lcm}(a_i,a_{i+1}))$，这是充要条件。

得到下面的代码：

代码

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> v(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> v[i];
    }
    for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
        if (std::gcd(std::lcm(v[i - 1], v[i]),
		std::lcm(v[i], v[i + 1])) != v[i]) {
            std::cout << "NO\n";
            return;
        }
    }
    std::cout << "YES\n";
}