[CP] 因子个数的分布规律

这段时间没有怎么练习，昨晚打 Div.4 的时候居然卡在 E 了 = =。不过，我觉得这两件事情并没有联系，纯粹是我太菜的缘故。

看 E 的官方题解时发现了一个比较 counter-intuitive 的东西：

注意最后一行：“所有小于等于 ${10}^5$ 的数最多有 $128$ 个因子”。作者毫无根据地写下了这段话，隐含着某种 “显然”“易得” 的意味。有两种可能——要么是他忘记写推导过程了，要么就是其背后的规律非常简单，按按计算器就能得到结果。

出于对作者的信任，我先考虑第二种可能。我想，自己是不是错过了叫 “因子个数的分布规律” 这样的重要公式？

到网上查了查，并没有发现这样的公式。

于是我决定写个程序计算一下，看看到底有没有规律：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from copy import copy
 
n = int(1e7)
 
notPrime = [False] * (n + 1)
minp = [0] * (n + 1)
primes = []
 
for i in range(2, n + 1):
    if not notPrime[i]:
        primes.append(i)
        minp[i] = i
    for p in primes:
        num = i * p
        if num > n:
            break
        notPrime[num] = True
        minp[num] = p
        if i % p == 0:
            break
 
print("Sieving completed.")
 
facNum = [1] * (n + 1)
for i in range(2, n + 1):
    j = copy(i)
    d = {}
    while j != 1:
        if minp[j] in d:
            d[minp[j]] += 1
        else:
            d[minp[j]] = 1
        j //= minp[j]
    for cnt in d.values():
        facNum[i] *= cnt + 1
 
print("Factorization completed.")
 
plt.plot(np.linspace(1, n, n), facNum[1:])
plt.grid()
plt.show()
 

原理是利用欧拉筛法计算出给定范围内的所有素数，然后对范围内的每个数进行素因子分解，再根据算术基本定理计算出其因子个数。不知道有没有更简单的办法，不过程序跑得还挺快的——1e7 的规模花了 18s。

以下是结果（纵轴为因子个数）：

坏消息是，虽然不能断定因子个数的分布没有规律，但从结果来看应该是没有规律的（其实不用算也知道，由于素数的因子个数固定是 2，就算不考虑那些因子数量比较少的合数，最终的曲线也应该是起起伏伏的）。

好消息是，它的增长速度很慢，范围扩大 100 倍，范围内最多的因子个数大概是原来的四倍，因此估计 $[1,1e8]$ 内最多的因子个数为 1600 左右。顺带一提我后来单独算了下 1e8 这个数的因子个数，结果是 81，某种程度上也印证了前面所说的 “没有规律” 这一结论。

2024-04-13 更新

上面的图太乱了，感觉绘制上界会更直观。

记横轴上某个点为 $x$，则对应曲线的纵坐标表示的是到 $x$ 之前（包括 $x$）最多的因子个数。

2024-11-26 更新

我突然发现自己的方法十分愚蠢。事实上，只需要以 $\sqrt{n}$ 为分界点进行因子分解即可！