[CP / Codeforces] DP 的细节处理（一）

最近渐渐地会做一些基础的 DP 题了，但是因为细节上没处理好，常常花很多时间去 debug，导致效率不高，因此打算写这样一篇（一系列）文章分析下 DP 的细节处理。

以这道 1500* 的 E. Block Sequence 为例，当我们得出了：

（点击展开）

$$\begin{array}{c}dp[i]=dp[i+1]+1,i+1+v[i]>n\\ dp[i]=min(dp[i+1+v[i]],dp[i+1]+1),i+1+v[i]\le n\end{array}$$

这样的状态转移方程后，接下来要做的事情不是马上开一个 DP array 把递推式敲进去，因为前者几乎不需要任何思考，无论放在什么时候做，都可以很快完成。

在我看来，或者说，在我做了几十道 DP 题之后得出的惨痛教训告诉我，应当先思考两个问题：

• DP 数组的初值是什么？
• DP 数组的边界值是什么？

之所以把边界值放在初值后面考虑，是因为我一般先赋初值再去设置相对较少的边界值，如果倒过来的话，就需要加一些判断语句，否则边界值可能会被初值覆盖。

首先说初值。DP 数组的初值就是我们在执行递推代码前，DP 数组各个元素的初始值。一般来说，如果我们使用 vector 来创建 DP 数组，那么其初值就是 0（假设元素类型是整数）。在很多情况下，不需要特别关注此初值，保持默认的 0 即可，比如统计某某取法的个数啦、判断能获得的最大值啦……这样。然而，我必须说，这是一个坏习惯，因为你不知道什么时候会出问题。

就比如本题。本题求的是最小值，而 $0$ 作为一个可能的答案（在本题中是最小的答案），如果作为初值，就会导致无论给什么输入，输出都是 $0$。正确的做法是设置一个很大的值，这个值需要满足两个条件：第一，不在答案的区间之内；第二，在给定的数据规模和运算次数下不会发生溢出。因此，我们可以使用 $n$ 或者 0x3f3f3f3f 作为初值。

因此我建议把初值的设置作为每次做 DP 题时必要的步骤，显式的指明初值 以提醒自己。

注意，初值的具体取值视问题而定，比如背包问题，对于至少 / 恰好 / 至多等限定，需要不同的初值取值。

然后是边界值，可以理解为 dfs 的递归出口条件，根据题意和状态转移方程设置即可。对于线性 DP 来说，一维 DP 一般不会出错，比较容易出错的是高维，因为常常需要设置多个边界值，尤其是在引入降维优化空间复杂度时，我经常忘记设置边界值——不过今天写了这篇文章之后应该不会再犯类似的错误了。

对了，本题题解供参考：

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
 
    std::vector<int> v(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::cin >> v[i];
    }
 
    std::vector<int> dp(n + 1, n);
    dp[n] = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        dp[i] = dp[i + 1] + 1;
        if (i + 1 + v[i] <= n)
            dp[i] = std::min(dp[i], dp[i + 1 + v[i]]);
    }
 
    std::cout << dp[0] << '\n';
}