[CP] 学习记录——树状数组求逆序对个数

NOTE1: 本文并不包含树状数组的原理及实现。
NOTE2: 主要参考树状数组 - OI Wiki 写成。

逆序对

对于给定数组 $a$ ，记下标为 $i$ 的元素为 $a_{i}$ ，定义逆序对 $(i, j)$ 为满足：

a_{i} > a_{j}, i < j

的数对。

使用暴力方法求逆序对个数

根据上述定义，可以很快写出暴力方法：

 int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        if (a[i] > a[j])
            ++cnt;
    }
}

时间复杂度 $O (n^{2})$ ， $n$ 较大时就会超时。

使用树状数组求逆序对个数

更快的方法是使用归并排序或树状数组，这里介绍后者。

权值数组

本方法的关键在于权值数组（如果之前学过桶排序应该很好理解）。对于数组 $a$ ，定义权值数组 $b$ ，使得 $b_{j}$ 等于 $j$ 在 $a$ 中出现的次数。比如对于 $a = [3, 2, 5, 1, 4, 2]$ ，可以构造权值数组 $b = [0, 1, 2, 1, 1, 1]$ 。可见，权值数组掩盖了原数组中元素之间的大小关系，这与逆序对定义中蕴含的大小关系是相悖的。

然而，如果我们一个个地向权值数组中添加元素呢？

回想先前的暴力做法，对于原数组的每个元素 $a_{i}$ ，我们遍历 $i < j < n$ 的数组部分，统计所有满足 $a_{i} > a_{j}$ 的数对个数……

注意到，逆序对定义中的两个条件并没有先后之分，所以我们反过来思考，可以找到所有满足 $a_{i} > a_{j}$ 的数对，统计 $i < j < n$ 的个数。

如果用权值数组来实现，因为权值数组的下标严格递增，故 “所有满足 $a_{i} > a_{j}$ 的数对个数” 就等于 $\sum_{k = 0}^{a_{i} - 1} b_{k}$ ，前提是这些位于权值数组中的元素的下标都大于 $i$ 。

那么，如何保证这个前提？只需要从原数组的最后一个元素开始，一个个地将其添加到权值数组中，直到第一个元素，同时在每次添加元素时将 $\sum_{k = 0}^{a_{i} - 1} b_{k}$ 累加到最终答案里面。

因为修改权值数组会影响到 $\sum_{k = 0}^{a_{i} - 1} b_{k}$ 的查询，为了更高效地完成上述操作，使用树状数组来实现权值数组的功能，因此就有 “权值树状数组” 的叫法。

离散化

当输入数组 $a$ 的元素值域较宽时，因为权值数组的下标对应的是 $a$ 的元素值，因此可能会有较多的空间浪费，特别地，当元素值非常大时（如 $10^{13}$ ），则根本无法开辟这样的权值数组。

这一问题可以用离散化来解决。因为我们当前关注的是元素的相对大小关系，而不关心元素的值究竟是多少，所以可以计算出每个元素的相对索引。以数组 $a = [10000000, 1, 100, 10]$ 为例，可以构造出如下的数组 $a^{'} = [4, 1, 3, 2]$ ，表示 “将原数组排序后，每个元素所处的位置”（为了方便，索引一般从 1 开始）。这样一来， $a$ 的每个元素都可以通过 $a^{'}$ 对应到权值数组的某个元素上了。