[CP] 学习记录——树状数组求逆序对个数

NOTE1: 本文并不包含树状数组的原理及实现。
NOTE2: 主要参考 树状数组 - OI Wiki 写成。

逆序对

对于给定数组 \(a\)，记下标为 \(i\) 的元素为 \(a_i\)，定义逆序对 \((i,j)\) 为满足：

\[a_i>a_j,\ i<j \]

的数对。

使用暴力方法求逆序对个数

根据上述定义，可以很快写出暴力方法：

int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
        if (a[i] > a[j])
            ++cnt;
    }
}

时间复杂度 \(O(n^2)\)，\(n\) 较大时就会超时。

使用树状数组求逆序对个数

更快的方法是使用归并排序或树状数组，这里介绍后者。

权值数组

本方法的关键在于权值数组（如果之前学过桶排序应该很好理解）。对于数组 \(a\)，定义权值数组 \(b\)，使得 \(b_j\) 等于 \(j\) 在 \(a\) 中出现的次数。比如对于 \(a=[3,2,5,1,4,2]\)，可以构造权值数组 \(b=[0,1,2,1,1,1]\)。可见，权值数组掩盖了原数组中元素之间的大小关系，这与逆序对定义中蕴含的大小关系是相悖的。

然而，如果我们一个个地向权值数组中添加元素呢？

回想先前的暴力做法，对于原数组的每个元素 \(a_i\)，我们遍历 \(i<j<n\) 的数组部分，统计所有满足 \(a_i>a_j\) 的数对个数……

注意到，逆序对定义中的两个条件并没有先后之分，所以我们反过来思考，可以找到所有满足 \(a_i>a_j\) 的数对，统计 \(i<j<n\) 的个数。

如果用权值数组来实现，因为权值数组的下标严格递增，故 “所有满足 \(a_i>a_j\) 的数对个数” 就等于 \(\sum\limits_{k=0}^{a_i-1}b_k\)，前提是这些位于权值数组中的元素的下标都大于 \(i\)。

那么，如何保证这个前提？只需要从原数组的最后一个元素开始，一个个地将其添加到权值数组中，直到第一个元素，同时在每次添加元素时将 \(\sum\limits_{k=0}^{a_i-1}b_k\) 累加到最终答案里面。

因为修改权值数组会影响到 \(\sum\limits_{k=0}^{a_i-1}b_k\) 的查询，为了更高效地完成上述操作，使用树状数组来实现权值数组的功能，因此就有 “权值树状数组” 的叫法。

离散化

当输入数组 \(a\) 的元素值域较宽时，因为权值数组的下标对应的是 \(a\) 的元素值，因此可能会有较多的空间浪费，特别地，当元素值非常大时（如 \(10^{13}\)），则根本无法开辟这样的权值数组。

这一问题可以用离散化来解决。因为我们当前关注的是元素的相对大小关系，而不关心元素的值究竟是多少，所以可以计算出每个元素的相对索引。以数组 \(a=[10000000,1,100,10]\) 为例，可以构造出如下的数组 \(a'=[4,1,3,2]\)，表示 “将原数组排序后，每个元素所处的位置”（为了方便，索引一般从 1 开始）。这样一来，\(a\) 的每个元素都可以通过 \(a'\) 对应到权值数组的某个元素上了。

例题

F. Greetings