[CP] DP 循环顺序总结（上）—— 正序与倒序

引入

初学 DP，感觉循环顺序是 DP 的要点之一，遂尝试总结。

这里的 “循环顺序” 取决于循环变量在每一次循环执行完毕后是自增还是自减，而不是外层循环和内层循环的先后顺序。一般来说，自增对应正序，自减对应倒序。

循环顺序对于 DP 算法的正确执行来说非常重要，在多数情况下（从自己目前做过的为数不多的题目来看，是所有情况下），不能随意更改循环的顺序，否则就会得到错误的结果。

何时考虑循环顺序？

我认为有两个地方需要考虑循环顺序的选择，第一是在得出状态转移方程后，第二是在降维优化空间复杂度时。

得出状态转移方程后..

以 LeetCode 516. 最长回文子序列 为例，在推导出状态转移方程后（初始条件略）：

$$\begin{array}{c}f[i][j]=\{\begin{array}{l}f[i+1][j-1]+2,s_i=s_j\\ max\{f[i+1][j],f[i][j-1]\},s_i\ne s_j\end{array}\end{array}$$

注意到， $i$ 这一维度的状态来自 $i$ 和 $i+1$，所以相应循环使用 倒序，而 $j$ 这一维度的状态来自 $j-1$ 和 $j$，因此相应循环使用 正序。

降维优化空间复杂度时..

对于线性 DP 来说，当发现当前状态仅和前一个状态相关时，就可以利用滚动数组进行优化，因为更早的状态对于当前状态的计算没有贡献。

一般来说，滚动数组已经能显著地降低空间复杂度了（对于二维 DP，形如 $O(nm)\to O(2m)$），但我们完全可以优化到 $O(m)$，也就是把前一个状态和当前状态存储在数组的同一维度中，此时就需要考虑循环顺序的问题。

以 LeetCode 2915. 和为目标值的最长子序列长度 为例，这是一道经典的 0-1 背包问题，可以很快得出状态转移方程：

$$f[k][c]=max\{f[k-1][c],f[k-1][c-nums[k]]+1\},nums[k]>0$$

考虑优化，我们可以去掉空间上的 $k$ 这一维，也就是变成：

$$f[c]=max\{f[c],f[c-nums[k]]+1\}$$

因为 $f[c-nums[k]]$ 需要访问 $f[c]$ 之前 的元素，从状态转移方程可以知道，这些元素属于 前一个状态 ，为了保证计算 $f[c]$ 时所用的元素均属于前一个状态，内层循环顺序应为 倒序。

如果不采取降维优化，根据状态转移方程，内、外层循环均为正序；应用了降维优化后，内层循环变为倒序。

结语

无论是哪种情况，本质上都是为了满足状态转移方程，因此我觉得并没有死记硬背循环顺序的必要，用一句老话来讲，就是 “具体问题具体分析”。