[CP] 初窥 Dynamic Programming

]]]] 从今天开始正式学习 「传说中的 DP」。

首先看了 DP 的基本思想。

然后就开始尝试做题。

第一道题是 198. House Robber - 打家劫舍，因为之前练了挺久的暴搜，所以很快就写出了如下的代码：

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int ans = 0, cur = 0;
 
        std::function<void(int, int)> dfs = [&](int k, int ok) {
            if (k == n) {
                ans = std::max(ans, cur);
                return;
            }
 
            dfs(k + 1, 1);
 
            if (ok) {
                cur += nums[k];
                dfs(k + 1, 0);
                cur -= nums[k];
            }
        };
 
        dfs(0, 1);
 
        return ans;
    }
};

我知道它必然会超时，因为搜索树的节点总数上界为 $2^n$，而 $n$ 最大可达 $100$。

如何优化？联想到斐波那契数列的计算，我猜想搜索树的一部分结点对应的情况被重复计算了。我画出了 $n=4$ 时，上述暴力算法对应的搜索树：

此外，我还发现，因为题目需要的是最大值，对于相同的结点（比如图中的 $<3,1>$），尽管它们对应的值不一定相同，但并不影响下一步决策，用递推式来表示就是：

$$\begin{array}{c}f(i,0)=f(i-1,1)+nums[i-1]\\ f(i,1)=max\{(f(i-1,0)+f(i-1,1)\}\end{array}$$

其中 $f(i,0)\mathrm{或}f(i,1)$ 表示选择或不选第 $i-1$ 个数所能取得的最大值。

再规定 $f(0,0)=f(0,1)=0$，只需要一遍扫描就能计算出最终答案 $max[f(n-1,0),f(n-1,1)]$！简直就像发现了新大陆！

将上述思想转换为代码（稍微做了些改动）：

class Solution {
public:
    int dp[103][2];
 
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), ans = 0;
        dp[0][0] = nums[0], dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][1] + nums[i];
            dp[i][1] = std::max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
        }
        ans = std::max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
        return ans;
    }
};

DP 真是太有意思了！