[CP / Codefroces] B. A Balanced Problemset?（Div. 2）

B. A Balanced Problemset?

分析

本题考查 GCD（Greatest Common Divisor, 最大公约数） 的性质。
很惭愧，这道题我不会做，于是我看了 editorial，并学到了新知识：

$$GCD(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)=GCD(a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+a_3+\dots +a_n)$$

证明：

设 $d$ 是 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ 的公约数，即有 $d|a_i$ 对于 $1\le i\le n$ 均成立，由整除的性质知 $d|\sum _{i=1}^k{a}_i$ 对于 $1\le k\le n$ 成立，即 $d$ 是 $a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$ 的约数。

反过来，若 $d|\sum _{i=1}^k{a}_i$ 对于 $1\le k\le n$ 成立，因为 $\sum _{i=1}^k{a}_i-\sum _{i=1}^{k-1}{a}_i=a_k,2\le k\le n$，所以 $d|a_i$ 对于 $1\le i\le n$ 均成立，即 $d$ 是 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ 的公约数。

综上，$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ 的约数和 $a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\dots ,a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$ 完全相同，那么它们的最大公约数也相等了。

回到本题，由上面的结论知， $x$ 无论如何被拆分，拆分出来的所有项的最大公约数一定是 $x$ 的约数，这是一个必要条件，所以 “枚举所有的约数” 至少不会让我们漏掉答案。问题在于，这个约数和我们想要的最大公约数究竟有什么数学上的关系？仅仅求出约数还不足以得到最终答案！

设 $x$ 的某个约数为 $d$，即 $d|x$，显然有 $\frac{x}{d}|x$，或者说 $\frac{x}{d}$ 也是 $x$ 的约数，所以 $x$ 可以被分为 $d$ 个 $\frac{x}{d}$ 或者 $\frac{x}{d}$ 个 $d$。我们的目标是：检查约数 $d$ 和 $\frac{x}{d}$ 是否可以作为拆分后的 $n$ 个数的最大公约数。

结论是：当 $d\ge n$ 或 $\frac{x}{d}\ge n$ 时，另一方（$\frac{x}{d}$ 或 $d$）可以作为拆分后的 $n$ 个数的最大公约数，因为满足上述条件时，始终可以构造出形如 $d,d,\dots ,x-(n-1)d$ 这样的序列，使得最大公约数为 $d$。

代码

void solve()
{
    int n, x;
    std::cin >> x >> n;
 
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            // two divisors: i and x / i
            auto d2 = x / i;
            if (i >= n)
                ans = std::max(ans, d2);
            if (d2 >= n)
                ans = std::max(ans, i);
        }
    }
 
    std::cout << ans << '\n';
}