[CP / Leetcode] 11. Container With Most Water - 盛最多水的容器

分析

首先观察题目条件：

$$\begin{array}{c}2<=n<={10}^5\\ 0<=height[i]<={10}^4\end{array}$$

从 $n$ 的范围来看，$O(n^2)$ 的暴力解法肯定是不行了； $height[i]$ 的范围比较小，或许是突破口。

不过，还是从暴力先开始考虑，万一经过优化之后时间复杂度降下来了呢？

暴力解法的话，需要成对地遍历 $height$ 数组中元素 $a_i,a_j$，求出 $max(min(a_i,a_j)\cdot |i-j|)$，考虑到有一半的组合是重复的，可以优化成 $max(min(a_i,a_j)\cdot (i-j))$，且规定 $i>j$，但这样做之后复杂度依然是 $O(n^2)$。

还能再优化吗？

$max$ 肯定是不能去掉的，否则就存在 $O(1)$ 的解法，显然这样的解法并不存在，而 $min$ 不怎么耗时间，也并非优先考虑的优化对象。

本质上看，若想降低时间复杂度，需要缩小遍历（搜索）的范围。仔细想一想，在遍历时，怎样的元素是不用考虑的呢？……好像没有。问题在于，我们没有事先提取有关的 $height$ 数组的任何信息，或者说，没有获得任何信息熵，因而这些数据对于我们而言具有同等的不确定性，也就无法带有倾向性地去选择某些元素了。

如果是以前的我，一定会遇事不决就来个排序吧……但只做排序看上去也是于事无补的，顶多是把 $min$ 给去掉，并不能带来多少提升。

现在只剩下最后一条路可走，就是一开始的取值范围：

$$0<=height[i]<={10}^4$$

看起来好像需要开一个大小为 ${10}^4$ 的桶，但这样做，考虑所有的元素都相等的极端情况，用桶就无法求解了。

貌似无路可走了！虽然挺想看提示或者题解的，但是不能看，否则就没意思了。

不行。再想想再想想。

首先遍历 $height[i]$ 是必须做的，也就是至少有 $O(n)$ 的时间复杂度，如果能在 $O(logn)$ 或更快的时间内，找到和当前的 $height[i]$ 相关的可行解……

如果使用排序，只选取满足 $height[j]\ge height[i]$ 的 $j$（设有 $k$ 个满足上述条件的 $j$），便能将目标简化为：

$$max[a_i\cdot max(|i-j_1|,|i-j_2|,\cdots ,|i-j_t|,\cdots ,|i-j_k|)]$$

数形结合（这里需要更严谨的证明），还能进一步简化：

$$max[a_i\cdot max(|i-j_{min}|,|i-j_{max}|)]$$

得想办法快速计算出 $j_{min}$ 和 $j_{max}$ ——事实上它们确实可以被快速地计算出来，只要倒序扫描一遍数组就行了！

到这里已经可以写出代码了，由于排序的存在，时间复杂度是 $O(logn)$，但是用桶可以优化到 $O(n)$。

代码（$O(n)$）

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        using pair = std::pair<int, int>;
 
        std::vector<pair> bukket(1e4 + 5, {INT_MAX, INT_MIN}); // min max
 
        int n = height.size();
 
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            bukket[height[i]].first = std::min(bukket[height[i]].first, i);
            bukket[height[i]].second = std::max(bukket[height[i]].second, i);
        }
 
        int curMin = INT_MAX, curMax = INT_MIN;
        int ans = 0;
        for (int i = 1e4; i >= 0; i--) {
            int iMin = bukket[i].first, iMax = bukket[i].second;
            if (iMin == INT_MAX)
                continue;
            curMin = std::min(curMin, iMin);
            curMax = std::max(curMax, iMax);
            int a1 = std::max(iMin - curMin, curMax - iMin);
            int a2 = std::max(iMax - curMin, curMax - iMax);
            ans = std::max(ans, i * std::max(a1, a2));
        }
 
        return ans;
    }
};

后记

边写 blog 边做这道题，前前后后大概花了 4 个小时，但自己做出来比看过答案之后再写，感觉要好上一万倍。

嗯，我肯定是把简单的事情搞复杂了，所以接下来研究 editorial。

什么，居然是双指针？！未曾设想过的算法。看来又能学到新的技巧了。

因为题解网上都有，这里就不记录双指针解法了。赶紧再刷几道类似的题巩固一下……