[数学] 刷题的时候偶然发现的组合数公式

$\sum _{i=k}^n\frac{i!(n-k)!}{n!(i-k)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^{n-k}$

比如，当 $k=1$ 时，有 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^{n-1}$ 。

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题目是洛谷 P2415 - 集合求和

人家的代码都是一步到位，形如

std::cout<<sum(s) * (1 << (n - 1)) // 即乘以 2 的 n - 1 次方

而我是

uint64_t Cx(uint64_t n)
{
    uint64_t result = 0;
    uint64_t ci = 1;
    uint64_t tmp;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        tmp = ci * (n - i + 1);
        result += tmp;
        ci = tmp / i;
    }
    return result;
}

然后

std::cout << sum(s) * Cx(n) / n;

虽然最后 AC 了，但是看到提交记录后才发现自己的代码意外的长。对比别人的代码，我推导了一下，最后得到了上面的公式。我的代码实际上做的是等式左边的工作，而别人用的是等式右边的结果。