CS 分解
将学习到什么
CS 分解是分划的酉矩阵在分划的酉等价之下的标准型. 它的证明涉及奇异值分解、QR 分解以及一个简单习题.
一个直观的习题
设 \(\Gamma, L \in M_p\). 假设 \(\Gamma = \mathrm{diag}(\gamma_1,\cdots, \gamma_p)\), 其中 \(0 \leqslant \gamma_1 \leqslant \cdots \leqslant \gamma_p \leqslant 1\), \(L=[\ell_{ij}]\) 是下三角的， 则
\begin{align}
\begin{bmatrix} \Gamma & L & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma_1 & &&& \ell_{11} & & & 0 & 0 & & & 0 \\
& \gamma_2 &&& \ell_{21} & \ell_{22} & & & & \ddots & & \\
& & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & \gamma_p & \ell_{p1} & \ell_{p2} & \cdots & \ell_{pp} & 0 & & & 0 \end{bmatrix} \in M_{p,2p+k}
\end{align}
如果 \([\Gamma \quad L \quad 0]\) 的行是标准正交的，我们断定 \(L\) 是对角的， \(L=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots , \lambda_p)\), 且 \(\lvert \lambda_j \rvert ^2 = 1-\gamma_j^2,\,\,j=1,\cdots,p\). 即
\begin{align}
\begin{bmatrix} \Gamma & L & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma_1 & &&& \lambda_1 & & & & 0 & & & 0 \\
& \gamma_2 &&& & \lambda_2 & & & & \ddots & & \\
& & \ddots & & & & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & \gamma_p & & & & \lambda_p & 0 & & & 0 \end{bmatrix}
\end{align}
对行着手去做，证明很直观.
CS 分解定理
定理（CS 分解）： 设 \(p,q\) 与 \(n\) 是给定的整数，其中 \(1<p \leqslant q < n\) 且 \(p+q =n\). 设 \(U= \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix} \in M_n\) 是酉矩阵，其中 \(U_{11} \in M_p\) 且 \(U_{22} \in M_q\). 则存在酉矩阵 \(V_1,W_1 \in M_p\) 以及 \(V_2, W_2 \in M_q\), 使得
\begin{align}
\begin{bmatrix} V_1 & 0 \\ 0 & W_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 & 0 \\ 0 & W_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C & S & 0 \\ -S & C & 0 \\ 0 & 0& I_{q-p} \end{bmatrix}
\end{align}
其中 \(C = \mathrm{diag} (\sigma_1,\cdots, \sigma_p)\), \(\sigma_1 \geqslant \cdots \geqslant \sigma_p\) 是 \(U_{11}\) 的按照非增次序排列的奇异值，而 \(S= \mathrm{diag} \left( (1-\sigma_1^2)^{1/2},\cdots, (1-\sigma_1^p)^{1/2} \right)\)
证明： 基本思路是做出一系列的酉等价，它们一步一步将 \(U\) 化简为具有所需要的形式的分块矩阵. 第一步是利用奇异值分解：记 \(U_{11}=V \Sigma W=(VK_p)(K_p\Sigma K_p)(K_pW)=\tilde{V} \Gamma \tilde{W}\), 其中 \(V,W \in M_p\) 是酉矩阵，\(K_p\) 是 \(p\times p\) 反序矩阵. \(\tilde{V}=VK_p\), \(\tilde{W}=K_pW\), \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \cdots, \sigma_p)\), 其中 \(\sigma_1 \geqslant \cdots \geqslant \sigma_p\), 且 \(\Gamma = K_p\Sigma K_p = \mathrm{diag}(\sigma_p, \cdots, \sigma_1)\). 计算
\begin{align}
\begin{bmatrix} \tilde{V}^* & 0 \\ 0 & I_q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{W}^* & 0 \\ 0 & I_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Gamma & \hat{V}^*U_{12} \\ U_{21}\tilde{W}^* & U_{22} \end{bmatrix}
\end{align}
这个矩阵是酉矩阵（它是三个酉矩阵的乘积），所以每一列的 Euclid 范数均为 1 ，这就意味着 \(\sigma_1 = \gamma_p \leqslant 1\). 现在利用 QR 分解以及它的变形来记 \(\tilde{V}^*U_{12}=[L \quad 0] \tilde{Q}\) 以及 \(U_{21}\tilde{W}^* = Q \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix}\), 其中 \(\tilde{Q},Q \in M_q\) 是酉矩阵， \(L=[\ell_{ij}] \in M_p\) 是下三角矩阵，而 \(R=[r_{ij}] \in M_p\) 是上三角矩阵. 计算
\begin{align}
\begin{bmatrix} I_p & 0 \\ 0 & Q^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Gamma & \hat{V}^*U_{12} \\ U_{21}\tilde{W}^* & U_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_p & 0 \\ 0 &\tilde{Q}^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Gamma &\begin{bmatrix} L & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} & Q*U_{22}\tilde{Q}* \end{bmatrix}
\end{align}
上一习题中和论证方法表明：\(L\) 与 \(R\) 两者都是对角的，且对每个 \(i=1,\cdots,p\) 有 \(\lvert r_{ii} \rvert = \lvert \ell_{ii} \rvert = \sqrt{1-\gamma_i^2}\). 设 \(M=\mathrm{diag}(\sqrt{1-\gamma_1^2},\cdots, \sqrt{1-\gamma_p^2})\), 并令 \(t=\max \{ i:\gamma_i <1 \}\). 则存在对角酉矩阵 \(D_1,D_2 \in M_p\) 使得 \(D_1R=-M\) 以及 \(LD_2=M\), 所以通过 \(I_p \oplus D_1 \oplus I_{n-2p}\) 在左边作成的酉相合与通过 \(I_p \oplus D_2 \oplus I_{n-2p}\) 在右边作成的酉相合产生出一个形如
\begin{align}
\begin{bmatrix} \Gamma &\begin{bmatrix} M & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -M \\ 0 \end{bmatrix} & Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Gamma_1 & 0 & M_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_{p-t} & 0 & 0_{p-t} & 0 \\ -M_1 & 0 & Z_{11} & Z_{12} & Z_{13} \\ 0 & 0_{p-t} & Z_{21} & Z_{22} & Z_{23} \\ 0 & 0& Z_{31} & Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix}
\end{align}
的酉矩阵，其中有分划的酉矩阵 \(\Gamma = \Gamma_1 \oplus I_{p-t}\) 以及 \(M=M_1 \oplus 0_{p-t}\), 所以 \(M_1\) 是非奇异的. 第一行和第三分块列的正交性（以及 \(M_1\) 的非奇异性）就蕴含 \(Z_{11}=\Gamma_1\), 因此要求每一行和每一列都是单位向量就确保了 \(Z_{12}\), \(Z_{13}\), \(Z_{21}\) 以及 \(Z_{31}\) 全都是零分块. 从而我们有
\begin{align}
\begin{bmatrix} \Gamma_1 & 0 & M_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_{p-t} & 0 & 0_{p-t} & 0 \\ -M_1 & 0 & Z_{11} & 0& 0 \\ 0 & 0_{p-t} & 0 & Z_{22} & Z_{23} \\ 0 & 0& 0 & Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix}
\end{align}
其右下角分块 \(\tilde{Z}= \begin{bmatrix} Z_{22} & Z_{23} \\ Z_{32} & Z_{33} \end{bmatrix} \in M_{q-t}\) 是酉矩阵的一个直和项，故而它是酉矩阵，于是对某个酉矩阵 \(\hat{V},\hat{W} \in M_{q-1}\) 有 \(\tilde{Z}=\hat{V}I_{q-t}\hat{W}\). 通过 \(I_{p+t} \oplus \hat{V}^*\) 在左边作出的酉等价以及通过 \(I_{p+t} \oplus \hat{W}^*\) 在右边作出的酉等价产生出分块矩阵
\begin{align}
\begin{bmatrix} \Gamma_1 & 0 & M_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_{p-t} & 0 & 0_{p-t} & 0 \\ -M_1 & 0 & Z_{11} & 0& 0 \\ 0 & 0_{p-t} & 0 & I_{p-t} & 0 \\ 0 & 0& 0 & 0 & I_{q-p} \end{bmatrix}
\end{align}
最后通过 \(K_p \oplus K_p \oplus I_{q-p}\) 作出的酉相似产生出一个酉矩阵，它具有所要求的构造.
理解 CS 分解定理
CS 分解是与 \(I_p \oplus I_q\) 共形地加以分划且阶为 \(n=p+q\) （为方便起见，设 \(p \leqslant q\), 但这不是本质的要求）的所有酉矩阵 \(U= \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{bmatrix} \in M_n\) 组成的集合的一种参数化的描述. 这些参数是四个更小的任意的酉矩阵 \(V_1,W_1 \in M_p\) 以及 \(V_2, W_2 \in M_q\)，以及任意 \(p\) 个实数 \(\sigma_1,\cdots, \sigma_p\), \(1 \geqslant \sigma_1 \geqslant \cdots \geqslant \sigma_p \geqslant 0\). 这四个分块的参数化是
\begin{align}
U_{11} &= V_1 C W_1 , \quad &U_{12} &=V_1 \begin{bmatrix} S & 0 \end{bmatrix} W_2 \\
U_{21} &= V_2 \begin{bmatrix} -S \\ 0 \end{bmatrix} W_1 &U_{22} &= V_2 \begin{bmatrix} C & 0 \\ 0 & I_{q-p} \end{bmatrix} W_2
\end{align}
其中 \(C=\mathrm{diag}(\sigma_1, \cdots, \sigma_p)\), 而 \(S= \mathrm{diag} \left( (1-\sigma_1^2)^{1/2},\cdots, (1-\sigma_1^p)^{1/2} \right)\). CS 分解是一种用途广泛的工具，特别是在与子空间之间的距离以及角度有关的问题中.
应该知道什么
- CS 分解是分划的酉矩阵在分划的酉等价之下的标准型
