酉矩阵
将学习到什么
这一节介绍一类非常特殊且非常重要的矩阵，酉矩阵。并简单介绍了一些性质。
入门知识
先给定义
可以看到，如果把矩阵定义域限定在实数域，酉矩阵就叫实正交矩阵啦。这只是“官方定义”，它还有很多等价说法，列出来
证明：(a)~(f) 都没什么好说的，说一下最后一个 (g). 如果说 \(U\) 是酉矩阵，令 \(y=Ux\)，那么 \(y^*y=x^*U^*Ux=x^*Ix=x^*x\), 即 \(\lVert x \rVert_2=\lVert Ux\rVert_2\). 反过来，我们设 \(U^*U=A=[a_{ij}]\),取 \(x=z+w\)，其中 \(z,w \in \mathbb{C}^n\), 则 \(x^*x=z^*z+w^*w+2\mathrm{Re}\, z^*w\), 且 \(y^*y=x^*Ax=z^*Az+w^*Aw+ 2 \mathrm{Re}\,z^*Aw\). 由 \(\lVert x \rVert_2=\lVert Ux\rVert_2\) 可知 \(z^*z=z^*Az\) 以及 \(w^*w=w^*Aw\), 从而对任意的 \(z\) 与 \(w\) 有 \(\mathrm{Re}\,z^*w=\mathrm{Re}\,z^*Aw\). 取 \(z=e_p\) 以及 \(w=\mathrm{i} e_q\), 并计算 \(\mathrm{Re}\,\mathrm{i}e_p^Te_q=0=\mathrm{Re}\, \mathrm{i}e_p^TAe_q=\mathrm{Re}\,\mathrm{i}a_{pq}=-\mathrm{im}\,a_{pq}\), 即虚部全为零，则 \(A\) 的每个元素都是实的。再取 \(z=e_p\) 以及 \(w=e_q\), 计算 \(e_p^Te_q=\mathrm{Re}\,e_p^Te_q=\mathrm{Re}\,e_p^TAe_q=a_{pq}\), 这告诉我们有 \(A=I\), 则证明了 \(U\) 是酉矩阵。
上个定理中的 (g) 中的条件有个定义
那么就是说，复方阵 \(U\in M_n\) 是 Euclid 等距的，当且仅当它是酉矩阵。下面给出一个简单结论
证明：\((UV)^*(UV)=V^*U^*UV=V^*V=I\), 所以 \(UV\) 是酉矩阵。
可见酉矩阵相乘还是酉矩阵。其实酉矩阵的集合构成一个群。这个群称为 \(n\times n\) 酉群，对应实数域中的实正交群。群是对单独一个满足结合律的二元运算封闭的集合，且在此集合中含有该运算的恒等元以及逆元，对酉矩阵来说，其相乘仍是酉矩阵，所以对乘法运算封闭，乘法显然是可结合的，酉群的恒等元是 \(I\), 其逆元仍是酉矩阵，即 \(U^{-1}=U^*\).
深入一点
酉矩阵 \(U\in M_n\) 的每一列或者每一行的 Euclid 范数都是 1，因而 \(U=[u_{ij}]\) 中没有任何元素有绝对值大于 1. 如果我们把酉群看作是 \(\mathbb{C}^{n^2}\) 的一个子集，这就是说是它的一个子集；如果 \(U_k=[u_{ij}^{(k)}]\) 是酉矩阵组成的一个无限序列（\(k=1,2,\cdots\)）, 使得对所有 \(i,j=1,2,\cdots,n\) 都有 \(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}u_{ij}^k=u_{ij}\), 那么由恒等式 \(U_k^*U_k=I, k=1,2,\cdots\) ，我们就看出 \(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}U_k^*U_k=U^*U=I\), 其中 \(U=[u_{ij}]\). 于是，极限矩阵 \(U\) 也是酉矩阵. 也就是说，酉矩阵的集合是 \(\mathbb{C}^{n^2}\) 的封闭子集. 学过泛函的都知道有限维的有界闭集是一个紧集，所以我们可以说\(M_n\) 中酉群是紧的. 由这个结论可推出关于酉矩阵的选择原理.
证明：紧集中必存在收敛的无限子序列于自身的某个元素。
上面引理告诉我们如果酉矩阵的序列收敛于某个矩阵，那么极限矩阵必定是酉矩阵。但是要注意引理确保存在的酉极限未必是唯一的，它有可能与子序列的选择有关。比如酉矩阵序列 \(U_k=\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^k \,\,(k=1,2,\cdots)\) 其奇数序列收敛于酉矩阵 \(\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}\), 偶数序列收敛于酉矩阵 \(\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\).
对于酉矩阵 \(U\)，\(U^{-1}=U^*\). 推广酉矩阵的一种方式是要求 \(U^{-1}\) 与 \(U^*\) 相似。这样的矩阵组成的集合容易刻画成映射 \(A\rightarrow A^{-1}A^*\) 的值域（对所有非奇异的 \(A\in M_n\)）.
证明： 如果对某个非奇异的 \(B\in M_n\) 有 \(A=B^{-1}B^*\), 那么 \(A^{-1}=(B^*)^{-1}B\), 且 \(B^*A^{-1}(B^*)^{-1}=B(B^*)^{-1}=(B^{-1}B^*)^*=A^*\). 反过来，如果 \(A^{-1}\) 与 \(A^*\) 相似，那么就存在一个非奇异的 $S\in M_n $, 使得 \(SA^{-1}S^{-1}=A^*\), 从而 \(S=A^*SA\). 令 \(S_{\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}S,\,\, \theta \in \mathbb{R}\), 则 \(S_{\theta}^*=A^*S_{\theta}^*A\). 将这两个恒等式相加给出 \(H_{\theta}=A^*H_{\theta}A\), 其中 \(H_{\theta}=S_{\theta}+S_{\theta}^*\) 是 Hermite 的. 如果 \(H_{\theta}\) 是奇异的，那么就存在一个非零的 \(x\in \mathbb{C}^n\), 使得 \(0=H_{\theta}x=S_{\theta}x+S_{\theta}^*x\), 所以 \(-x=S_{\theta}^{-1}S_{\theta}^*x=\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\theta}S^{-1}S^*x\), 且 \(S^{-1}S^*x=-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}x\), 选取一个值 \(\theta=\theta_0\in [0,2\pi)\), 使得 \(-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta_0}\) 不是 \(S^{-1}S^*\) 的特征值；所产生的 Hermite 矩阵 \(H=H_{\theta_0}\) 就是非奇异的，且有性质 \(H=A^*HA\). 现在选取任意一个复的 \(\alpha\), 使得 $\vert \alpha \rvert=1 $, 且 \(\alpha\) 不是 \(A^*\) 的特征值. 令 \(B=\beta(\alpha I-A^*)H\), 其中复参数 \(\beta \neq 0\) 有待选取，注意 \(B\) 是非奇异的，我们希望有 \(A=B^{-1}B^*\), 即 \(BA=B^*\). 计算 \(B^*=H(\bar{\beta}\bar{\alpha}I-\bar{\beta}A)\) 以及 \(BA=\beta(\alpha I-A^*)HA=\beta(\alpha HA-A^*HA)\beta(\alpha HA-H)=H(\alpha \beta A-\beta I)\). 如果我们能选取一个非零的 \(\beta\), 使得 \(\beta=-\bar{\beta}\bar{\alpha}\), 我们就完成了，但是如果 \(\alpha=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}\), 那么就有 \(\beta=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\psi)/2}\), 证明完成。
如果酉矩阵作为 \(2\times 2\) 分块矩阵出现，那么它落在对角线之外的那些块的秩相等，它的对角线块的秩通过一个简单的公式相联系。
证明： 对于酉矩阵 \(U\)，有 \(U^{-1}=\begin{bmatrix}
U_{11}^* &U_{21}^* \\ U_{12}^* &U_{22}^* \end{bmatrix}\). 由零性互补法则 可得，\(\mathrm{rank}\,U_{12}=\mathrm{rank}\,U_{21}^*=\mathrm{rank}\,U_{21}\), \(\mathrm{rank}\,U_{11}=\mathrm{rank}\,U_{22}^*+2k-n=\mathrm{rank}\,U_{22}+2k-n\), 即可得。\(\mathrm{rank}\,U_{12}=\mathrm{rank}\,U_{21}^*=\mathrm{rank}\,U_{21}=\), 故 \(U_{12}=0\) 当且仅当 \(U_{21}=0\). 按块矩阵的乘法可知此时 \(U_{11}\) 与 \(U_{22}\) 为 酉矩阵.
由以上引理知，如果一个酉矩阵是上三角或者是下三角阵，则它必是对角阵。
应该知道点什么
- 复方阵 \(U\in M_n\) 是 Euclid 等距的，当且仅当它是酉矩阵
- 其实酉矩阵的集合构成一个群，且是紧的
- 上个引理中块酉矩阵中秩的关系
- 一个酉矩阵是上三角或者是下三角阵，则它必是对角阵
