Fourier分析：改变世界的诗
按时间顺序讲，Fourier分析的起源应当首推Fourier本人．Fourier是逻辑上的起始人物，他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的，然而他并不是一位职业数学家或科学家，它所做的巨大贡献都是忙里偷闲完成的．但人们认为他是世界上至少是法国最伟大的科学家之一．
Fourier的全名叫Jean Baptiste Joseph Fourier，生于1768年的 Auxerre市，该市位于法国巴黎（Paris）与Dijon之间，是他父亲的第12个小孩，是他母亲的第9个小孩．当Fourier 9岁时，他母亲去世，次年他父亲去世．母亲去世后，Fourier的两个较小的兄妹被送进育婴堂，但Fourier仍然继续上学，并于1780年进人Auxerre皇家军校学习．13岁时，他对数学十分着迷，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜．他当时的学术成就引起了当地学术界的关注．
后来，法国革命暴发．Fourier 于1793年参加Auxerre 革命委员会，1795年他先后两次被捕．法国革命结束后，Fourier到巴黎教书，之后随拿破仑（Napoleon)到埃及（Egypt）并成为埃及研究院的长久负责人，在那里他写了一本关于埃及的书．直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献．1802年，Fourier 回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长达14年之久，他作为行政官员，工作十分出色，在政界享有崇高威望．1817年，Fourier 被送人法国科学院，从此步人较为正规的学术研究阶段．
1.1.1一首数学史诗
多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使Fourier 放弃研究数学的强烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier 分析的核心内容．1822年，Fourier 正式出版推动世界科学研究进展的巨著--《热的解析理论》(The Analytic Theory of Heat)由于这一理论成功地求解了困扰科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程（此方程由牛顿在17世纪建立)，因此Fourier分析成为几乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家．目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、X射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台．所以，物理学家 James Clark Maxwell 称赞Fourier 分析是一首伟大的数学史诗．
1.1.2 Fourier分析的主要内容
Fourier的贡献在于二点：①他用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和，这一无限和，现称之为Fourier级数．也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑的曲线之和，见图1．1这种表达方式实际上是将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的Fourier变换．此论断后来由Dirichlet证明．②他解释了为什么这一数学论断是有用的．1807年，Fourier显示任何周期函数（图中最下图形）是由正弦和余弦函数（图中上面的三个图形）叠加而成．Fourier分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和CD等数学技术的实现捕平了道路，Fourier分析同时也是量子力学的自然语言。
上述两点是针对周期函数即周期信号而言的，对于非周期函数，通过Fourier变换或周期延展转化为周期函数即可．
从本质上讲，Fourier变换就是一个棱镜（Prism),它把一个信号函数分解为众多的频率成分，这些频率文可以重构原来的信号函数，这种变换是可逆的且保持能量不变．Fourier棱镜。与自然棱镜的原理是一样的，只不过自然棱镜是将自然光分解为多种颜色的光而已，两种棱镜的比较分析见图1.2。
图1-1
图1-2
1.1
1.2
称为f(t)的Fourier变换，当信号函数f(t)是周期函数时， 称为f(t)的Fourier级数，信号函数f(t)和它的Fourier变换 是同一能量信号的两种不同的表现形式，f(t)显示了时间信息而隐藏了频率信号， 显示了频率信息而隐藏了时间信息．
Fourier分析将待研究的内容从一个空间变换到另一个空间研究的思想和方法是彻底重大的创新，随着后来量子力学的发现，Fourier分析理所当然成为描述和求解自然科学的语言．
1.1.3 DFT与FFT
Fourier分析理论是十分完善的，但实现尤其是数值实现并非易事.Shannon提出的采样定理(Sampling Theorem）打开了数字技术（Digital Technology）研究的大门，于是离散Fourier变换(DFT）成为计算机实现Fourier变换的第一种形式DFT的计算工作量为O（N2）（N为待分析的数据长度）当 N很大时，O（N2）是计算机无法接受的．1965年，美国两位工程师提出了计算工作量为 O（N lg N）的快速Fourier 变换(FFT).正是有了FFT,Fourier分析才真正成为人们认识自然、改造自然的流行工具．
