[IOI2024] 象形文字序列

首先 \(\text{UCS}\) 的长度显然是 \(\sum_{i=1}^{cnt}\min(a_{i},b_{i})\)，其中 \(a,b\) 分别表示字符 \(i\) 在两个串的出现次数，这也就意味着每个字符至少有一侧会匹配完，且是次数最小的一侧。

那么 \(\text{UCS}\) 的元素实际上与出现次数小的一侧的元素有着一一对应的关系，令左侧小的称为 \(A\) 元素，右侧小的称为 \(B\) 元素，那么 \(A,B\) 元素内部的偏序关系是唯一确定的，我们只需要确定 \(A,B\) 元素之间的关系就可以唯一确定 \(\text{UCS}\) 是什么，现在就是要能快速判定在 \(\text{UCS}\) 的匹配当中一个 \(A\) 元素 \(x\) 与一个 \(B\) 元素 \(y\) 在 \(A\) 元素的匹配 \(z\) 相比，\(x\) 与 \(z\) 的大小关系。

手完一下 \(01\) 序列之后不难发现大小关系是确定的，对于 \(01\) 序列，对于一个 \(A\) 与 一个 \(B\) (不妨令 \(0\) 为 \(A\)，\(1\) 为 \(B\))，由于不能原串与翻转都不能有未配 \(0\)，匹配 \(1\)，匹配 \(0\)，未配 \(1\) 状自序列，因为可以得到 匹配 \(1\)，匹配 \(0\) 的新匹配方案，所以只有 \(S+k\times 1+T\)，\(S+R+T\) 或 \(S+R+T\)，\(S+k \times 0+T\) 的一个形式，匹配是非常固定的，\(S,T\) 内部互相匹配，中间的之间匹配，但由于中间的匹配只被一种元素控制，所以不会被偏序关系产生影响，可以任意匹配。实际上只要把左右两侧匹配对就可以了，可以通过匹配左侧时前面 \(0\) 的个数是否相同来判定是否真的是在左侧，否则就认为在右侧，这样我们就可以快速比较两个元素在 \(\text{UCS}\) 序列中的先后顺序，还原只需归并两个序列即可。

现在仅需判定是否合法即可，首先通过 \(\text{UCS}\) 我们可以先贪心求出一组合法匹配，合法那么对于任意两个元素构成的 \(01\) 序列肯定要合法，这个就是判定是否有未配 \(x\)，匹配 \(y\)，匹配 \(x\)，未配 \(y\) 自序列，是一个二维数点的形式，可以用并查集快速解决，但这样还是不够的，会 \(\text{WA}\) 在 \(\text{Subtask5}\) 的 \(test16\)。实际上还存在未配 \(x\)，匹配 \(y\)，匹配 \(x\)，匹配 \(z\)，匹配 \(y\)，未配 \(z\) 的自序列，因为 \(x,z\) 匹配到两侧后中间的 \(y\) 可以构建一个交叉来交换顺序，这个相当于对于每一个 \(y\)，\(x\) 出现位置的最小值要小于 \(z\) 出现位置的最大值，也可以使用并查集解决。

由于第一部分归并时需要二分求个数，所以总复杂度为 \(O(n\log n)\)。