CTS2024 投票游戏

首先手玩可以发现求出两人谁先被票出是困难的，但如果我们能求出两人各票出时的票数，那么只要比较一下票数的大小就可以直到票出的顺序，然而一个点的票数的大小与其子结点有关，如果我们能确定子结点最终票出时的票数，那么只要处理当且菊花图的一个问题即可，将子节点的最终票数从大到小排序依次与该节点比较即可做到 \(O(nq \log n)\)，但不够优秀。

优化这个 \(\text{dp}\) 式子的想法是很直接的，考虑树剖维护动态 \(\text{dp}\)，不难发现我们只要维护出子结点们的最终票数的从大到小顺序，令当前节点 \(x\) 的票数为 \(res\)，每次如果对于其的一个子结点 \(y\)，那么 \(res\leqslant dp_{y}\) 时可以删去 \(y\)，并将 \(res\) 减去 \(b_{y}\)，可以发现这其实就是一个 \(\text{monster hunter}\) 的模型，每次当其 \(\leqslant\) 一个节点的等级时可以让自己的等级减少，那么实际上按照等级从大到小刚好是最优顺序，所以我们就将其可以看作一个最优化问题。

在修改一个节点时，一个点的更新可能来自于重儿子和轻儿子，对于轻儿子可以维护其平衡树，但对于重儿子由于一整条重链都会影响，所以是不能实时维护出来的。但是我们还是可以采用矩阵乘法维护 \(\text{ddp}\) 的方式，由于重儿子被删与不被删只对应两种取值，所以可以预处理每一种取值之后会到达哪一种取值，这些取值的临界点都可以在轻儿子的平衡树上二分得到，每次修改时动态更新重儿子，自己和父亲的矩阵，父亲的轻儿子平衡树即可，于是可以做到 \(O(n\log^2 n)\)。