P5470 [NOI2019]序列

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5470

题目描述：给定两个序列$a,b$，在两个序列中分别取出两个大小为$K$下标集$A,B$使得$A,B$交的个数$>=L$，最大化取出下标的对应元素权值和。

题解：首先可以建出费用流模型：

令序列$A$元素为$i$,序列$B$元素为$i'$，

然后连$(s,i)$，流量为$1$,费用为$a_{i}$

连$(i',t)$，流量为$1$,费用为$b_{i}$

连$(i,i')$，流量为$1$,费用为$0$

由于有$L$的限制，那么随便连就有$K-L$的限制：

那么可以连$(i,U)$,流量为$1$,费用为$0$

那么可以连$(U,V)$,流量为$K-L$,费用为$0$

那么可以连$(V,i')$,流量为$1$,费用为$0$

当然对于源点要限制只有大小为$K$的流，那么连$(s',s)$,流量为$K$，费用为$0$,将$s'$置为源点。

现在考虑有以下几种流：

$1$.$s->i->i'->t$,即选两个下标相当的元素。

$2$.$s->i->U->V->j'->t$,即选两个下标不相当的元素，此时$(U,V)$花费$1$流量。

$3$.$s->i->i'->V->j'->t$,此时$i'->V$时被翻转的，从前$i'$就被流过,那么就是选了$i,j'$,即选了$i'$被使用过的一个$i$与一个$j'$,不花费$(U,V)$流量。

$4$,不难发现有一种与$3$对称的流，选了$i$被使用过的一个$i'$与一个$j$,不花费$(U,V)$流量。

$5$.$s->i->i'->V->U->j->j'->t$，此时$(i',V)$,$(V,U)$,$(U,j)$均被翻转过。那么,即选了$i'$被使用过的一个$i$与一个$j$被使用的$j'$,反加$(U,V)$流量。而它的对称流还是$5$。

所以我们可以拿$5$个堆模拟上述过程，令$qa$表示没用过$i'$的$i$集合，$qb$表示没用过$j'$的$j$集合，$ta$表示用过$i'$的$i$集合,$tb$表示用过$j'$的$j$集合，$p$表示$i,i'$都没用过组成的集合。

则$1$即$p$

$2$即$qa+qb$

$3$即$ta+qb$

$4$即$qa+tb$

$5$即$ta+tb$

然后模拟费用流即可，注意$p$包含了$qa,qb$，所以可能会有$1$被误判为$2$的情况，将$1$置在$2$前即可。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct reads
{
  long long num,data;
  bool operator < (const reads &a)const
  {
    return data<a.data;
  }
};
priority_queue<reads>qa;
priority_queue<reads>qb;
priority_queue<reads>ta;
priority_queue<reads>tb;
priority_queue<reads>p;
long long T,n,k,L,s,maxn,maxer,ans,A[1000001],B[1000001];
bool t,usedA[1000001],usedB[1000001];
int read()
{
  char c=0;
  int sum=0;
  while (c<'0'||c>'9')
    c=getchar();
  while ('0'<=c&&c<='9')
    {
      sum=sum*10+c-'0';
      c=getchar();
    }
  return sum;
}
reads tmp;
reads make_reads(int x,int y)
{
  tmp.num=x;
  tmp.data=y;
  return tmp;
}
int main()
{
  T=read();
  while (T--)
    {
      n=read(),k=read(),L=read();
      while (!qa.empty())
	qa.pop();
      while (!qb.empty())
	qb.pop();
      while (!p.empty())
	p.pop();
      while (!ta.empty())
	ta.pop();
      while (!tb.empty())
	tb.pop();
      for (int i=1;i<=n;++i)
	{
	  usedA[i]=0;
	  A[i]=read();
	  qa.push(make_reads(i,A[i]));
	}
      for (int i=1;i<=n;++i)
	{
	  usedB[i]=0;
	  B[i]=read();
	  qb.push(make_reads(i,B[i]));
	}
      for (int i=1;i<=n;++i)
	p.push(make_reads(i,A[i]+B[i]));
      s=k-L;
      ans=0;
      while (k--)
	{
	  maxn=0;
	  while (!qa.empty()&&usedB[qa.top().num])
	    qa.pop();
	  while (!qb.empty()&&usedA[qb.top().num])
	    qb.pop();
	  while (!p.empty()&&(usedA[p.top().num]||usedB[p.top().num]))
	    p.pop();
	  if (!p.empty()&&p.top().data>maxn)
            {
	      maxn=p.top().data;
              maxer=5;
            }
	  if (s)
	    {
	      if (!qa.empty()&&!qb.empty()&&qa.top().data+qb.top().data>maxn)
		{
		  maxn=qa.top().data+qb.top().data;
		  maxer=1;
		}
	    }
	  if (!qa.empty()&&!tb.empty()&&qa.top().data+tb.top().data>maxn)
	    {
	      maxn=qa.top().data+tb.top().data;
	      maxer=2;
	    }
	  if (!ta.empty()&&!qb.empty()&&ta.top().data+qb.top().data>maxn)
	    {
	      maxn=ta.top().data+qb.top().data;
	      maxer=3;
	    }
	  if (!ta.empty()&&!tb.empty()&&ta.top().data+tb.top().data>maxn)
	    {
	      maxn=ta.top().data+tb.top().data;
	      maxer=4;
	    }
	  ans+=maxn;
	  if (maxer==1)
	    {
	      s--;
	      tb.push(make_reads(qa.top().num,B[qa.top().num]));
	      ta.push(make_reads(qb.top().num,A[qb.top().num]));
	      usedA[qa.top().num]=1;
	      usedB[qb.top().num]=1;
	      qa.pop();
	      qb.pop();
	    }
	  if (maxer==2)
	    {
	      usedA[qa.top().num]=1;
	      usedB[tb.top().num]=1;
	      tb.pop();
	      tb.push(make_reads(qa.top().num,B[qa.top().num]));
	      qa.pop();
	    }
	  if (maxer==3)
	    {
	      usedA[ta.top().num]=1;
              usedB[qb.top().num]=1;
              ta.pop();
              ta.push(make_reads(qb.top().num,A[qb.top().num]));
	      qb.pop();
	    }
	  if (maxer==4)
	    {
	      s++;
	      usedA[ta.top().num]=1;
	      usedB[tb.top().num]=1;
	      ta.pop();
	      tb.pop();
	    }
	  if (maxer==5)
	    {
	      usedA[p.top().num]=1;
	      usedB[p.top().num]=1;
	    }
	}
      printf("%lld\n",ans);
    }
  return 0;
}