红黑树

红黑树是一颗二叉搜索树

1，每个节点或者是红色的或者是黑色的

2，根节点是黑色的

3，每个叶节点（NIL)是黑色的

4，如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的

5，对于每个节点，从该节点到其所有的后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。（黑高）

 

 

 

 旋转

 

LEFT_ROTATE(T,x)

y = x.right

x.right = y.left

if y.left != T.nil

　　y.left.p= x

y.p = x.p

if x.p == T.nil

　　T.root = y

else if x == x.p.left

　　x.p.left = y

else x.p.right = y

y.left = x

x.p = y

 

插入

 

 

 

RB_INSERT(T，z)

y = T.til

x = T.root

while x != T.til

　　y = x

　　if z.key < x.key

　　x = x.left

　　else x = x.right

z.p = y

if y == T.nil

　　T.root = z

else if z.key < y.key

　　y.left = z

else y.right = z

z.left = T.nil

z.right = T.nil

RB_INSERT_FIXUP(T, x)

 

RB_INSERT_FIXUP(T,x)

while z.p.color == RED

　　if z.p == z.p.p.left

　　　　y = z.p.p.right

　　　　if y.color == RED

　　　　　　z.p.color = BLACK

　　　　　　z.p.p.color = RED

　　　　　　y.color = BLACK

　　　　else if z == z.p.right

　　　　　　z = z.p

　　　　　　LEFT_ROTATE(T,z)

　　　　esle

　　　　　　z.p.color = BLACK

　　　　　　z.p.p.color = RED

　　　　　　RIGHT_ROTATE(T,z)

　　else (same as then clause with right and left exchanged)

T.root.color = BLACK

　　

情况1， z的叔节点y是红色的

 

 

 情况2， z的叔节点y是黑色的，且z是一个右孩子节点

 情况3， z的叔节点y是黑色的，且z是一个左孩子节点

情况2让z指向红色的z.p ，左旋到情况3， 在情况2和情况3 颜色不改变。 把z.p改成黑色。

 

删除

RB_TRANSPLANT(T, u, v)

if u.p = T.nil

　　T.root = v

else if u = u.p.left

　　u.p.left = v

else u.p.right = v

v.p = u.p

 

一颗二叉搜索树T中删除一个节点z的整个策略有三种基本情况

1，z没有孩子，那么简单删除它，并修改它的父节点，用Nil作为孩子来替换它

2，z只有一个孩子，那么将孩子提升为z的位置，并修改z的父节点，用z的孩子来替换z

3, 如果z有两个孩子，那么找z的后继y(一定是z的右子树中），并让y占据树中z的位置，z原来右子树部分成为y的新右子树，并且z的左子树成为y的新左子树

 

 TREE_DELETE(T,z)

if z.left == NIL

　　TRANSPLANT(T, z, z.right)

else if z.right == NIL

　　TRANSPLANT(T, z, z.left)

else y = TREE_MINIMUM(z.right)

　　if  y.p != z

　　　　TRANSPLANT(T, y, y.right)

　　　　y.right = z.right

　　　　y.right.p = y

　　TRANSPLANT(T, z, y)

　　y.left = z.left

　　y.left.p = y

 TREE_MINIMUM(x)

　　while x.left != NIL

　　　　x = x.left

　　return x

 

RB_DELETE(T, z)

y = z

y.originalcolor = y.color

if z.left == T.nil

　　x = z.right

　　RB_TRANSPLANT(T,z,z.right)

else if z.right == T.nil

　　x = z.left

　　RB_TRANSPLANT(T, z, z.left)

else y = TREE_MINIMUM(z.right)

　　y.originalcolor = y.color

　　x = y.right

　　if y.p == z

  　　x.p = y

　　else RB_TRANSPLANT(T, y, y.right)

　　　　y.right = z.right

　　　　y.right.p = y

　　RB_TRANSPLANT(T, z, y)

　　y.left = z.left

　　y.left. p = y

　　y.color = z.color

　　if y.originalcolor == Black

　　　　RB_DELETE_FIXUP(T, x)

如果Y 是黑色的，则会产生三个问题，可以通过RB_DELETE_FIXUP进行补救。

第一，如果y是原来的根结点。而y的一个红色的孩子成为新的根结点，这就违反了性质2

第二，如果x,和 x.p是红色的，则违反了性质4

第三，在树中移动y导致先前包含y的任何简单路径上黑结点个数少1，因此y的任何祖先不满足性质5

 

 情况1， x的兄弟节点w是红色，因为 w必须是黑颜色，所有改变w和 x.p的颜色。然后对x.p进行一次左旋。 就会将情况1，转换为2，3，4处理。这些情况由W的子节点的颜色来区分。

情况2，x的兄弟节点为黑色，而且w的两个子节点都是黑色。因为w也是黑色的，所以从x和w上去掉一重黑色，使得x只有一重黑色，而w为红色。为了补偿从x和w去掉的一重黑色，在原来是红色或黑色的x.p

上新增一重额外的黑色。通过将x.p作为新的节点x来重复while循环。注意到，如果通过情况1 进入到情况2，则新节点x是红黑的，因为原来的x.p是红色的。因此新的节点x.color属性值c为红色。

情况3， x的兄弟节点w是黑色的，w的左孩子是红色的，右孩子是黑色的。交换w和左孩子的颜色，然后对w进行一次右旋。

情况4， x的兄弟节点w是黑色的，且w的右孩子是红色的。通过进行某些颜色修改，并对x.p进行一次左旋，可以去掉x的额外黑色，从而使他变成为单重黑色。