贝叶斯

假设我们有如下的7个球在A,B两个框中，如果我们随便取一个球，已知取到的球来自B框中，那么这个球是白球的概率是多少呢？

对于这个概率，很容易看出是1/3，但是我们也可以通过贝叶斯公式进行计算。

$P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$

将具体的例子代入上式，有

P(白球|B框)=P(B框|白球)P(白球)/P(取到B框中的球)=1/3*3/7*7/3=1/3

希望能对你理解贝叶斯公式有帮助

最近看了点贝叶斯的东西，回来答一波就当复习。我认为贝叶斯的思想是执果索因，就是在知道结果的情况下去推断原因的方法。通过现象（结果）去推断事情发生的本质（原因）。仅有假设产生结果可有两个原因，A,B . 这里假设A,B = {原因} H = {结果}

全概率公式：H发生的可能性

P(H) = P(H|A)P(A) + P(H|B)P(B)

贝叶斯公式: 在H发生的情况下，是A促成的可能性

P(A|H) = $\frac{P(A)P(H|A)}{P(H)}$

举个简单的例子：村子有且仅有两个小偷，小A和小B，根据统计A偷东西的可能性是0.2,B偷东西的可能性是0.8。如果A去偷，偷成功的概率是0.8，如果B去偷，偷成功的概率是0.3。如果村子丢了一件东西，A和B谁是嫌疑犯的可能性更大？

H={丢东西}

A = {A去偷东西}

B = {B去偷东西}

P(A) + P(B) = 1

A，B两人偷东西可能性 P(A) = 0.2 P(B) = 0.8

这个可以从当地的派出所的案底可以统计出来，根据这两人的作案事件占比可以分析出来

A , B两人得手的可能性 P(H|A)=0.8 P(H|B)=0.3，

这个是可以根据以往这两人偷东西的能力分析得到，A的脑子可能聪明，能力大，B能力不行

那么，村子里丢东西的可能性就是 P（H） = P(A)P(H|A) + P(B)P(H|B) = 0.4

那么如果是A偷得，知道了结果H，则可表示为 P(A|H) = $\frac{P(A)P(H|A)}{P(H)}$ = 0.4

同理，如果是B偷的，丢东西的情况下，是B偷东西的概率是P(B|H) = 0.6。

以上分析可以看出，虽然A的脑子好，但是不经常出手，B虽然能力差，但是他是个惯犯，所以他偷的可能性大。最后可以请B喝个茶了。

作者：水上的菠萝
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参考了很多网友热心回答，我也来试着回答一下。

假设你是一个领导者，或者说，山寨的头目好了。

你是远近闻名的土匪头子。哈哈

听闻最近官兵换统领了，可能要来剿匪了。这里驻扎的军兵每5年都会换一届统领，新官上任三把火，都想拿你们来开刀。不过每次，你都带领兄弟们打退了官兵的围剿。

这次不同了，听说换的是个厉害的角色。因此，你让二头领派人下山去打探消息，看看是不是要来攻山。

打探的人回来了，支支吾吾地说：官兵不会来，因为新来统领他妈生病了，回家探病去了。

你这个时候，信不信他的话？

你看这个回报的人，变毛变色的，说话吞吞吐吐。但是，他也有可能是因为没见过你大头领，回话的时候，有些紧张害怕。

你作为一个受过高等教育的人（学过概率论，贝叶斯定理的人），心理开始盘算：

1. 官兵每5年来一次，那么今年来的概率就是

1/5=20%

2. 派出去打探的这小子，说官兵不会来，那么今年来的概率是：

3. 嗯？派出去这小子，是不是可靠，不会说的是假话吧？

于是，你向旁人了解了一下：

1. 三头领劝你好好考虑下，说这个小子虽然人机灵，但是经常是十句话里面有七八句是假的，嘴里没实话。

于是你心理又开始盘算：

1. 十之七八都假话？能吗？

2.姑且认为三当家的话是真的。

3.那么派出去这小子，说假话的概率就是 70%~80%：

就按75%算把，

说真话的概率就是25%

4.那么如果他说的真话：

他说官兵不来，官兵就不来的概率是：25%*80%=20%

他说官兵来，官兵就来的概率是 ：25%*20%=5%

5. 如果他说的假话:

他说官兵不来，官兵来的概率是：75%*20%=15%

他说官兵来，官兵不来的概率是：75%*80%=60%

6. 那么他这次口口声声说了：官兵不来

那么根据5.和4.的结果：

官兵来的概率是 15%

官兵不来的概率是 20%

比率是：来/不来=15/20=3/4

也就是说，来的概率是3/7 =42.86% 不来的概率是4/7=57.14%

【注意】：贝叶斯定律是直接将 15%+20%做分母，两个概率做分子，分别重新计算其条件概率。

对你一个决策者来说，这样的比率，太高，显然没有什么意义：

于是你决定再派一个自己的亲信兄弟下去打探：

三天后回来，回报结果还和刚才结果一样：官兵不会来，统领回家了。

这次是你的亲信。应该将概率一下子修正为：

官兵来：0 官兵不来 100%

但是，这个亲信，虽然忠诚，明显不够机灵。他在打探时，可能被欺骗。他虽然不会骗你，但难保他被别人骗。因此，他的话只能做参考，也不可完全相信：

0.参照之前那个兄弟的结果：

3/7来，4/7不来

1.考虑你的亲信被欺骗的概率为 30%

2.那么同样：

他被骗：

他说官兵不来，官兵不来的概率是：3/7*30%=12.86%（实际官兵会来）

他说官兵来，官兵来的概率是 ：4/7*30%=17.14%

他没被骗：

他说官兵不来，官兵不来的概率是：4/7*70%=40%（实际官兵不会来）

他说官兵来，官兵来的概率是：3/7*70%=30%

3. 于是他向你报告官兵不来，那么：

来/不来=12.86/40

于是官兵来的概率就是

12.86/（12.86+40）=20.46% ----------囧，大家说这个值算错了，

----------只是后面用的太多了，有兴趣的同学自行算下？

看到20.46%？这个概率还是太大，你还是不放心，决定带上二当家，自己亲自下山一趟。

于是你门分头走街串巷，茶馆酒肆里转悠，四处打探。

最后，还是得出相同的结果。

于是你将结果修正为：

官兵来的概率：0，不来的概率：100%

最后你和二当家在一家酒馆碰头：

你说，官兵不来

二当家说：我看不一定，我摸到了官兵驻扎的地方，看到了官兵在演习调动。

听了这个消息，你大惊失色。你感觉自己可能也被骗了，但是凭自己的经验，被骗的可能性很小只有5%的可能性。

于是，你和二当家，约定今晚，趁着月色又摸来了一趟军营。发现确实在调动军队。

你心里想：我的乖乖，幸亏过来看了看，否则都没准备，就被官兵包饺子了。

你一下子，又将概率修正为：

官兵来：100%，官兵不来：0

仔细观察了一下动静，听了听。军营里有人小声说话，你和二当家趴在外面听：

士兵甲：哎？老四，你知道这回咱们要调哪里去？

士兵乙：那我哪里知道，那是上头的事情。

士兵甲：嘿！我劝你，把你那点银子趁早寄回家去吧。再晚，怕是没机会了。

士兵乙：老三，你瞎说啥，你知道啥，又要打清风寨？

士兵甲：嘿，打啥清风寨啊。要打打仗了。

你心里想，不打你们山寨？打什么打仗？最近有啥大事？于是你又将那个心理的概率修正为：

官兵来：0%，官兵不来：100%

这个时候，你突然意识到，自己的思维好像不太对。这后面几次，信息全是压倒性的修正，一次一次，不是0%就是100%，完全不像一个受过高等教育的山寨头领。

于是，你默默地多计算了两步。假设这个士兵说真话的概率为50%，那么他说官兵不去，

那么，结合刚刚的概率（来的概率：20.46%，不来的概率：79.54%）

1. 他说真话：

他说官兵不来，官兵不来的概率是：79.54%*50%=39.77%（实际官兵会来）

他说官兵来，官兵来的概率是 ：20.46%*50%=10.23%

2.他说假话：

他说官兵来，官兵不来的概率是：20.46*50%=10.23%（实际官兵不会来）

他说官兵不来，官兵来的概率是 ：79.54%*50%=39.77%

3.最终算出来，官兵来的概率是：

20.46%

你发现，概率居然没变？你明白了，你假设说真话的概率为50%，那相当于没有任何信息量，等于他什么也没说。妈*的！你作为受过高等教育的土匪头子，还是情不自禁地骂了一句。

于是你接着听

士兵甲接着说：嘿嘿，皇帝老子要打台湾了。收拾了三藩，接下来收拾台湾了，我们都归施琅统领。

士兵乙：真的假的，这你清楚？瞎掰吧？

士兵甲：嗨，我骗你做啥？今天我听李二嘎子说的，他说他二叔在施琅手下，他二叔告诉他的。

士兵乙：呵呵，李二嘎子的话你也信，那家伙，十句有两句是假话，你信他？

.....

你听到这里，已经敏锐的觉察到事情的原理了，朝着二当家使了个眼色，你们悄悄撤了。

为什么？因为你算了一下，李二嘎子的话可信吗？根据士兵乙的估计这个人，话里80%真话，20%假话，于是你开始计算了：

1.李二嘎子说真话：

他说官兵要打台湾不来，那么官兵真不来： 80%*79.54%=63.63%

他说官兵不打台湾要来，那么官兵要来 ：80%*20.46%=16.37%

2.李二嘎子说假话

他说官兵要打台湾不来，那么官兵要来： 20%*20.46%=4.09%

他说官兵不打台湾要来，那么官兵不来 ：20%*79.54%=15.91%

3.综合下来，官兵要来的概率是

4.09%/（4.09%+63.63%）=6.04%

看样子，官兵不来的概率很大。但是也不能掉以轻心。所以，你决定，回去之后，不必过份紧张，但要提高警戒，并不断派兄弟下来打探情况。

这样看来，应该是可以决策了把。。。

而做决策，就是根据贝叶斯定律，不断用后验概率来修正先验概率的吧。

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作者：Jason Huang
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概率也就是测度。楼主说要用非数学的语言，那我尝试用集合的图形法来说明下贝叶斯的意义。

首先把全空间分割成若干个集合 $B_i$ ,如图1

接着全空间里还有另外一个集合(事件) $A$ ,见图2灰色区域

现在全空间可以更加细致的分割为图3

现在考察绿色方块，也就是 $P(A\bigcap B_2) = P(AB_2)$ 区域

我们借用物理学中的参考系概念。

以全空间为参考系，则事件 $A$ 和 $B_2$ 发生的概率分别为

$P(A\mid \Omega) = P(A)$ , $P(B_2\mid \Omega) = P(B_2)$

上述的概率其实也可以等效于图2中相应的方块面积。

但是事件 $A\bigcap B_2$ 在不同的参考系下看的结果是不一样的，有句古话说"情人眼里出西施",一样的道理。我看先看下图

如果以 $A$ 为参考系（以 $A$ 为视角），看待 $A\bigcap B_2$ 发生的概率（也就是所谓的条件概率）为

$P( B_2\mid A) = \frac{P(AB_2)}{P(A)}$

上述公式本质上就是进行了归一化，也就是从全空间的角度切换到了参考系A。同样一个事件 $A\bigcap B_2$ 我们也可以从 $B_2$ 的视角来看待（关注右上角的方块），得到

$P(A\mid B_2) = \frac{P(AB_2)}{P( B_2)}$

于是有了

$P (AB_2)=P (AB_2) P(\Omega) = P( B_2)P(A\mid B_2) =P(A)P(B_2\mid A)$

上述公式本质上说的是在不同相对坐标系下一个事件发生的概率，都可以转换到同一个绝对坐标系下来。另外一个很不严谨的类比就是不同速度飞行的飞船来观察某个物理现象，得到的结论不太一致，但是却有着本质的联系。

贝叶斯其实是想告诉我们，一千个读者有一千个哈姆雷特，但是世界上（全空间坐标系，唯物主义）只有一个哈姆雷特。。。

言归正传，题主想要的公式就是

$P(\text{良好}\mid \text{合格}) = \frac{P(\text{合格}\mid \text{良好})P(\text{良好}) }{P(\text{合格})} =\frac{P(\text{合格}\mid \text{良好})P(\text{良好})}{P(\text{合格}\mid \text{良好})+P(\text{合格}\mid \text{故障})}$

posted on 2018-05-25 11:32 莫水千流阅读(655) 评论(0) 编辑收藏举报