一元二次方程

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）

一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。

公式法可以解任何一元二次方程。

因式分解法，也就是十字相乘法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。

除此之外，还有图像解法和计算机法。

图像解法利用二次函数和根域问题粗略求解。

满足条件

编辑

ax²+bx+c=0先化简，后判断。

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程），这点请注意！

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2。

 

方程形式

编辑

一般式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax²+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要先确定二次项系数，再确定一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。

变形式

ax²+bx=0（a、b是实数，a≠0）;

ax²+c=0（a、c是实数，a≠0）;

ax²=0（a是实数，a≠0）.

注：a≠0这个条件十分重要.

配方式

两根式

求解方法

编辑

开平方法

形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±

。

如果方程能化成(nx+m)²=p的形式，那么

，进而得出方程的根。
　　注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
　　③方法是根据平方根的意义开平方。

配方法

步骤

将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：用配方法解方程 3x²－4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

直接开平方得：

∴

,

.

∴原方程的解为

,

.

 

求根公式法

步骤

用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式

，确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出判别式

的值，判断根的情况；

③在

（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式

进行计算，求出方程的根。

 

 

数学推导

由一元二次方程求根公式知

则有：