机器学习基础系列--先验概率 后验概率 似然函数 最大似然估计(MLE) 最大后验概率(MAE) 以及贝叶斯公式的理解

机器学习基础

目录

• 机器学习基础
  • 1. 概率和统计
  • 2. 先验概率（由历史求因）
  • 3. 后验概率（知果求因）
  • 4. 似然函数（由因求果）
  • 5. 有趣的野史--贝叶斯和似然之争-最大似然概率(MLE)-最大后验概率(MAE)-贝叶斯公式
  • 总结:先验概率 后验概率以及似然函数的关系

1. 概率和统计

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。
顾名思义：

• 概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。
• 统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。在实际研究中，也是通过观察数据，推测模型是高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等，然后，可以进一步研究，推测模型参数。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

2. 先验概率（由历史求因）

百度百科定义：先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现的概率。
维基百科定义: 在贝叶斯统计中，某一不确定量p的先验概率分布是在考虑"观测数据"前，能表达p不确定性的概率分布。

可以看到二者定义有一个共同点，即先验概率是不依靠观测数据的概率分布，也就是与其他因素独立的分布。所以可以用表示。

\[P(θ) \tag{1} \]

先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，

3. 后验概率（知果求因）

维基百科定义: 在贝叶斯统计中，一个随机事件或者一个不确定事件的后验概率是在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率。同样，后验概率分布是一个未知量（视为随机变量）基于试验和调查后得到的概率分布。

简单的理解就是这个概率需要观测数据才能得到，例如我们需要对一个神经网络建模，我们需要基于给定的数据集X才能得到网络参数θ的分布，所以后验概率表示为

\[P(θ|X) \tag{2} \]

4. 似然函数（由因求果）

百度百科定义: 统计学中，似然函数是一种关于统计模型参数的函数。给定输出x时，关于参数\(θ\)的似然函数\(L(θ|x)\)（在数值上）等于给定参数\(θ\)后变量\(X\)的概率：$$L(θ|x)=P(X=x|θ)$$。
维基百科定义: 在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

\[L(θ|x)=P(X=x|θ) \tag{3} \]

似然概率很好理解，就是说我们现在有一堆数据，现在需要构建一组参数对这些数据建模，以使得模型能够尽可能地拟合这些数据。所以我们要做的就是从很多组参数中选出一组使得模型对数据的拟合程度最高，所以也常常说最大似然概率，即 \(\mathop {argmax}_{θ}P(X|θ)\)。

5. 有趣的野史--贝叶斯和似然之争-最大似然概率(MLE)-最大后验概率(MAE)-贝叶斯公式

极大似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。频率派认为，参数是客观存在的，只是未知而矣。因此，频率派最关心极大似然函数，只要参数求出来了，给定自变量X，Y也就固定了，极大似然估计如下所示:

\[θ_{MLE}=argmax_{θ}P(X|θ) \tag{4} \]

X表示训练数据集，θ是模型参数

相反的，贝叶斯派认为参数也是随机的，和一般随机变量没有本质区别，正是因为参数不能固定，当给定一个输入x后，我们不能用一个确定的y表示输出结果，必须用一个概率的方式表达出来，所以贝叶斯学派的预测值是一个期望值，如下所示：

\[E[y|x]=∫P(y|x,θ)P(θ|X)dθ \tag{5} \]

其中X表示输入训练数据集，y表示输出，θ 是模型参数

该公式称为全贝叶斯预测。现在的问题是如何求 p(θ|X) （后验概率），根据贝叶斯公式我们有：

\[P(θ|X)=\frac{P(X|θ)P(θ)}{P(X)}=\frac{P(X|θ)P(θ)}{∫p(X|θ)p(θ)dθ} \tag{6} \]

可惜的是，上面的后验概率通常是很难计算的，因为要对所有的参数进行积分，不能找到一个典型的闭合解（解析解）。在这种情况下，我们采用了一种近似的方法求后验概率，这就是最大后验概率。

\[θ_{MAP}=argmax_θP(X|θ)P(θ) \tag{7} \]

最大后验概率和极大似然估计很像，只是多了一项先验分布\(P(\theta)\)，它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点，在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。

从以上可以看出，

• 一方面，极大似然估计和最大后验概率都是参数的点估计。在频率学派中，参数固定了，预测值也就固定了。最大后验概率是贝叶斯学派的一种近似手段，因为完全贝叶斯估计不一定可行。
• 另一方面，最大后验概率可以看作是对先验和MLE的一种折中，如果数据量足够大，最大后验概率和最大似然估计趋向于一致，这是因为当数据量很大时，先验概率趋向于均匀分布。如果数据为0,最大后验仅由先验决定。

贝叶斯估计假设将待估计的参数看成是符合某种先验概率分布的随机变量，而不是确定数值。在样本分布上，计算参数的所有情况并通过计算参数的期望，得到后验概率密度。
极大似然估计是将参数\(\theta\)作为一个确定值。

总结:先验概率 后验概率以及似然函数的关系

先验概率: \(P(θ)\)
后验概率: \(P(θ|X)\)
似然概率: \(P(X|θ)\)
它们三者存在这样的关系:

\[P(θ|X)=\frac{P(X|θ)P(θ)}{P(X)} \tag{8} \]

一般而言数据\(P(X)\)的分布是知道的，所以有

\[P(θ|X)∝P(X|θ)P(θ) \]

此外，当参数\(θ\)是均匀分布时，后验概率和似然概率成正比，后验概率正比于先验概率乘以似然函数即：

\[P(θ|X)∝P(X|θ) \]

参考文献：
一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）转载详细介绍几个概念之间的因果关系，简单易懂。
先验概率，后验概率，似然概率，条件概率，贝叶斯，最大似然
概率论：先验与后验与似然