数海拾遗-微积分中用于求导的链式法则

以理服人

链式法则是微积分中用于求导的重要法则，它适用于复合函数的导数求解。

设有两个函数：y = f(u) 和 u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x))。

我们要求导复合函数 y 对于 x 的导数，即求 dy/dx。

根据链式法则，dy/dx = dy/du * du/dx。

其中，dy/du 是外函数 f(u) 对于内函数 u 的导数，即 f'(u)。

du/dx 是内函数 u 对于自变量 x 的导数，即 g'(x)。

因此，链式法则可以表示为：

dy/dx = f'(u) * g'(x)。

这就是链式法则的推导过程。通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而更好地理解和应用微积分中的概念。

以例服人

假设有函数 y = sin(2x)，现在要求解函数 y = sin(2x + 1) 对于 x 的导数。

我们可以将函数 y = sin(2x + 1) 表示为 y = f(g(x))，其中 f(u) = sin(u)，g(x) = 2x + 1。

根据链式法则，dy/dx = dy/du * du/dx。

dy/du 是外函数 f(u) 对于内函数 u 的导数，即 f'(u) = cos(u)。

du/dx 是内函数 g(x) 对于自变量 x 的导数，即 g'(x) = 2。

将 f'(u) 和 g'(x) 代入上式，得到：

dy/dx = cos(2x + 1) * 2

因此，函数 y = sin(2x + 1) 对于 x 的导数为 2cos(2x + 1)。

这就是链式法则的应用过程，通过链式法则可以将复合函数的导数拆分为外函数和内函数的导数相乘，从而更方便地求解。