AtCoder Grand Contest 048

A - atcoder < S

枚举操作完的串 $s$ 和 atcoder 相同的前缀长度，算出前面的前缀相同的代价加上当前这位大于 atcoder 中对应的那一位的代价即为达到当前状态的代价，取个最小值即可。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1005;
const int INF=1061109567;
int T;
int n;
char s[N];
char t[]={" atcoder`"};
void solve()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    int ans=INF;
    int now=0;
    for(int i=1;i<=min(n,8);i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(s[j]>t[i])
            {
                ans=min(ans,now+j-i);
                break;
            }
        if(s[i]<t[i])
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                if(s[j]==t[i])
                {
                    now+=j-i;
                    for(int k=i;k<j;k++)
                        s[k]=s[k+1];
                    s[j]=t[i];
                    break;
                }
            break;
        }
        else if(s[i]>t[i])
        {
            ans=min(ans,now);
            break;
        }
    }
    if(ans>=INF) printf("-1\n");
    else printf("%d\n",ans);
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}

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B - Bracket Score

最后 () 的位置一定为一半奇数一半偶数。先把所有 $b_i$ 加入答案。把奇数位和偶数位的 $a_i-b_i$ 从大到小排序，每次从奇数位和偶数位分别拿出一个，如果加入当前的两个数会使答案变大就加入。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200005;
int n;
int a[N],b[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    vector<int>odd,even;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(i&1) odd.emplace_back(a[i]-b[i]);
        else even.emplace_back(a[i]-b[i]);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=b[i];
    sort(odd.begin(),odd.end(),greater<int>());
    sort(even.begin(),even.end(),greater<int>());
    for(int i=0;i<n/2;i++)
        if(odd[i]+even[i]>=0) ans+=odd[i]+even[i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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C - Penguin Skating

每次操作相当于是将差分数组某个位置的值 $-1$ 后加到相邻的一个位置上，然后再将这个位置的值置为 $1$，双指针搞搞就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,L;
int a[N],b[N];
int sa[N],sb[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    a[0]=0,b[0]=0;
    n++,a[n]=L+1,b[n]=L+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sa[i]=a[i]-a[i-1]-1,sb[i]=b[i]-b[i-1]-1;
    long long ans=0;
    for(int i=1,j=1;i<=n;i++)
    {
        long long sum=0;
        int l=n+1,r=0;
        while(j<=n&&sum+sa[j]<=sb[i])
        {
            if(sa[j]) l=min(l,j),r=max(r,j);
            sum+=sa[j],j++;
        }
        if(l<=r)
        {
            if(i<l) ans+=r-i;
            else if(i>r) ans+=i-l;
            else ans+=r-l;
        }
        if(sum!=sb[i])
        {
            printf("-1");
            return 0;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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D - Pocky Game

可以发现，一堆石子要么一个个取，要么一次性取完。

令 $f_{l,r,0/1,x}$ 表示 $[l,r]$ 这段区间，左边/右边是 $x$ 时谁能胜利。

$x$ 的范围很大，考虑令 $f_{l,r,0/1}$ 表示 $[l,r]$ 这段区间，第一个人/第二个人胜利 $a_l$/$a_r$ 至少为多少。

考虑转移 $f_{l,r,0}$，$f_{l,r,1}$ 同理。

• 当 $f_{l+1,r,1}>a_r$ 时，$f_{l,r,0}=1$，此时无论 $a_l$ 取多少第一个人都必胜；
• 当 $f_{l+1,r,1}\le a_r$ 时，此时两个人肯定会轮流取一个，直到最右边的那一堆被取到 $f_{l+1,r,1}$ 时，第二个人肯定只能将最右边那堆直接取完，否则第一个人直接将第一堆取完第二个人就输了，换句话说，就是：$f_{l,r,0}-f_{l,r-1,0}>a_r-f_{l+1,r,1}\iff f_{l,r,0}=f_{l,r-1,0}-f_{l+1,r,1}+a_r+1$。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=105;
int T;
int n;
int a[N];
long long f[N][N][2];
long long dfs(int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return f[l][r][k]=1;
    if(f[l][r][k]!=-1) return f[l][r][k];
    if(k==0)
    {
        if(dfs(l+1,r,k^1)>a[r]) f[l][r][k]=1;
        else f[l][r][k]=a[r]-dfs(l+1,r,k^1)+dfs(l,r-1,k)+1;
    }
    else
    {
        if(dfs(l,r-1,k^1)>a[l]) f[l][r][k]=1;
        else f[l][r][k]=a[l]-dfs(l,r-1,k^1)+dfs(l+1,r,k)+1;
    }
    return f[l][r][k];
}
void solve()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    if(dfs(1,n,0)<=a[1]) printf("First\n");
    else printf("Second\n");
    return;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}

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E - Strange Relation

我们从后往前插入每个数，对于 $a_i$ 放到 $a_{i+1},\cdots ,a_n$ 前面对 $x_i\cdots x_n$ 的影响：

• $x_i=0$
• $a_i<a_j+T\times (x_j+1)$，令 $x_j=x_j+1$（不加肯定字典序比加字典序小）。
• $a_i\ge a_j+T\times (x_j+1)$，$x_j$ 不变。

可以发现对于每个 $j$ 是独立的。

对于每个位置 $p$ 的每一个取值分别 DP，设 $f_{i,j}$ 表示考虑 $1\sim i$ 的影响时 $x_p=j$ 的方案数。

因为 $i+1\sim n$ 可以随便选，答案还要乘上 $k^{n-p}$，贡献即为 $k^{n-p}\sum _{i=0}^{n}i\cdot f_{1,i}$。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=55;
const int MOD=1000000007;
int n,m,t;
int b[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&b[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int ans=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][0]=1;
            for(int k=i;k>1;k--)
                for(int l=0;l<n;l++)
                    for(int x=1;x<=m;x++)
                        if(b[i][j]+t*(l+1)>b[k-1][x]) f[k-1][l+1]=(f[k-1][l+1]+f[k][l])%MOD;
                        else f[k-1][l]=(f[k-1][l]+f[k][l])%MOD;
            for(int k=1;k<n;k++)
                ans=(ans+1LL*k*f[1][k])%MOD;
            for(int k=1;k<=i;k++)
                for(int l=0;l<=n;l++)
                    f[k][l]=0;
        }
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            ans=1LL*ans*m%MOD;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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F - 01 Record

可以发现，对一个数连续操作一定是 $01$ 交错排列，结尾一定是 $1$。

考虑将整个序列翻转后，相当于是每次删去一个 $101010\cdots$ 的子序列。

我们贪心的每次能删尽量删，令每次删除的字符串长度为 $l_1,l_2,\cdots ,l_n$。

令 $S$ 中的元素从大到小分别为 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$，其中 $m\ge n$，则一组 $x$合法当且仅当：

• $L=\sum _{i=1}^n{l}_i=\sum _{i=1}^m{x}_i$
• $\mathrm{\forall }1\le i\le n,\sum _{j=1}^i\lfloor \frac{l_j}{2}\rfloor \ge \sum _{j=1}^i\lfloor \frac{x_j}{2}\rfloor$
• $\mathrm{\forall }1\le i\le n,\sum _{j=1}^i\lceil \frac{l_j}{2}\rceil \ge \sum _{j=1}^i\lceil \frac{x_j}{2}\rceil$

具体证明可以看官方题解。

令 $f_{i,j,k,t}$ 表示当前填到第 $i$ 位，且 $\sum _{l=1}^i\lfloor \frac{x_l}{2}\rfloor =j$ 且 $\sum _{l=1}^i\lceil \frac{x_l}{2}\rceil =k$ 且 $x_i=t$ 的方案数。因为 $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_i$，且 $\sum _{j=1}^i{x}_i\le L$，所以 $t\le \lfloor \frac{L}{i}\rfloor$。直接转移即可。

答案即为：

$$\sum _{i=n}^L\sum _{t=1}^L{f}_{i,\sum _{j=1}^n\lfloor \frac{l_j}{2}\rfloor ,\sum _{k=1}^n\lceil \frac{l_k}{2}\rceil ,t}$$

---

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=305;
const int MOD=1000000007;
int n,m,L;
string s;
int a[N];
int s1[N],s2[N];
int f[2][N][N][N],g[2][N][N][N];
int main()
{
    cin>>s;
    L=s.size();
    reverse(s.begin(),s.end());
    while((int)s.size()>0)
    {
        if(s[0]!='1')
        {
            cout<<0;
            return 0;
        }
        string t="";
        int c=1;
        n++;
        for(int i=0;i<(int)s.size();i++)
            if(s[i]-'0'==c) a[n]++,c^=1;
            else t+=s[i];
        s=t;
    }
    for(int i=1;i<=L;i++)
        s1[i]=s1[i-1]+a[i]/2;
    for(int i=1;i<=L;i++)
        s2[i]=s2[i-1]+(a[i]+1)/2;
    int cur=0;
    f[0][0][0][L]=g[0][0][0][L]=1;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=L;i++)
    {
        cur^=1;
        if(i-2>=0)
        {
            for(int j=0;j<=s1[i-2];j++)
                for(int k=0;k<=s2[i-2];k++)
                    for(int t=0;t<=L/max(i-2,1);t++)
                        f[cur][j][k][t]=g[cur][j][k][t]=0;
        }
        for(int j=0;j<=s1[i];j++)
            for(int k=0;k<=s2[i];k++)
            {
                for(int t=0;t<=L/i;t++)
                    if(j-t/2>=0&&k-(t+1)/2>=0) f[cur][j][k][t]=(g[cur^1][j-t/2][k-(t+1)/2][L/max(i-1,1)]-(t-1>=0?g[cur^1][j-t/2][k-(t+1)/2][t-1]:0))%MOD;
                g[cur][j][k][0]=f[cur][j][k][0];
                for(int t=1;t<=L/i;t++)
                    g[cur][j][k][t]=(g[cur][j][k][t-1]+f[cur][j][k][t])%MOD;
            }
        if(i>=n)
            for(int t=1;t<=L/i;t++)
                ans=(ans+f[cur][s1[n]][s2[n]][t])%MOD;
    }
    ans=(ans+MOD)%MOD;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}