三元环 四元环

枚举三元环

枚举无向图三元环，将无向图转变成有向图，对于一条无向边，定义它的方向为度数大的点连向度数小的点。

我们可以先枚举一个点\(i\)，再枚举i连出的点\(j\)，再枚举\(j\)连出的点\(k\)，如果\((i,k)\)有边，\(ans++\)

复杂度：O($m \sqrt{m} $)

复杂度证明:考虑枚举\(i\)和\(j\)等同于枚举每条边\((i,j)\)，如果\(j\)的度数小于\(\sqrt{m}\) ，那么对于每一条边\((i,j)\) 枚举的\(k\)的次数小于$ \sqrt{m}$ 。如果\(j\)的度数大于\(\sqrt{m}\) ,那么这样的\(j\) 的不会超过\(\sqrt{m}\) 个，又\(i\) 点度数比\(j\)大，这样的\(i\)点也不会超过\(\sqrt{m}\)个，计算次数为

\(cnt=\sum_{j,deg[j]>\sqrt{m}}indeg(j)*outdeg(j)<=\sqrt{m}*\sum_{j,deg[j]>\sqrt{m}}outdeg(j)<=\sqrt{m}*m\)

枚举四元环

同三元环,将无向图转变成有向图，对于一条无向边，定义它的方向为度数大的点连向度数小的点。

我们可以先枚举一个点\(i\)
再枚举i连出的点\(j\)(无向图中)，再枚举\(j\)连出的点\(k\)（有向图中），\(ans+=num(k),num(k)++\)
对每个i做的时候都重新清空num数组
这样对四元环在有向图的每个一种情况都恰好计算一次

复杂度:\(O(m*\sqrt{m})\)

复杂度证明:同上