[数学趣味002]抽象

抽象好可怕，好高深的感觉,让我们用这高射炮打打蚊子也不错………

1.问题：将下面每一组4个数经过加减乘除得到24.（是不是看上去很简单哦）

 (1)5,5,5,1;    (2)3,3,7,7;

 (3)4,4,7,7;    (4)3,3,8,8;

1 .第一反应就是5*5-1 = 24，可是少用一个5;

2.那么我们换个方向把左右2边恒等不变，但是又多一个5来呢？

3. 左右同时除5：

 (5*5 – 1 )/5 = 24 /5 
    (5 - 1/5)     = 24/5 
    (5 - 1/5) *5  = 24

同理：可得

(2)   (3*7+3)/7 = 24/7 ---> (3+3/7)*7 = 24

(3)   (4*7-4)/7 = 24/7----> (4-4/7)*7 = 24

最后一题：你也试下！！！！有点小坑！希望你能找规律……

这些就是规律，就和你知道了魔方的公式就可以轻松得到六面一样的道理，把相类似的事物总结出它们的共性的这个过程就是抽象

2.求证 (a-b)² = a² – 2ab + b² 

这个公式我们早已背得滚瓜烂熟啦，还用得证明么，背出来的东西很枯燥，求出来的才会觉得它可爱有趣啦。

重回下中学时代：

(a - b)

²

 = (a - b)(a - b) %%定义
     = a(a - b) - b(a - b) %%分配律
     = (aa - ab) +(- ba + bb)%%分配律
     = a

²

- ab - ab +b

²

%%乘法交换律
     = a

²

-2ab + b

²

%%合并律

那么a,b是什么？ 正数，负数，有理数，无理数，还是所有的任意数？

其实，我们在证明（抽象）的过程中没有说明，也就是说：只要有加减乘除，符合分配，交换，合并律的都是成立的，所以a,b甚至可以不是数

比如：a,b是向量，

ab² = ca² +cb² – 2*ca*cb*cosc^。

一下就收获了余弦定理，把c置成90。又得勾股定理！

代数的公理就是运算律，许多看起来不相同的事，都是一回事。

不同事物--->共同规律------>广泛应用

最后小试下：求椭圆方程 x²/a² + y²/b² = 1 面积

1. 把椭圆先拉成一个圆横坐标不变，y 变成a/b*y，(x,y) ---->(x,a/b*y).  

2. 椭圆---->圆(方程）  x²/a² + y²/b² = 1   ----> 左右乘a² ---->x²+(a²/b²)*y² =a² ------>所以只要y变成原来的a/b倍，那么就是一个半径为a的圆啦

3. S 为圆的面积 Pi*a² = (a/b)*S  【拉伸了a/b倍】

4. S = (Pi*a²)(b/a) = Pi*a*b

 

经@玖疯指正：

为什么椭圆变成圆后是,面积也是成a/b的关系？

这是根据欧几里德面积射影定理的一个小推论，

可以把变形想像椭圆按一定的角度投影成这个圆（或反之，一个是缩小一个是扩大，看你爱好），然后面积关系根据这个推论【有兴趣可以查阅面积射影定理相关资料】就成立啦。