最长公共子序列图解、算法实现和复杂度分析
LCS和莱文斯坦距离的解决思路非常类似,都是利用动态规划的方式来解决。可以参见上一篇“莱文斯坦距离”,两个概念对比着看理解为更深入!
LCS定义
同样引用百科:
最长公共子序列(LCS)是一个在一个序列集合中(通常为两个序列)用来查找所有序列中最长子序列的问题。与查找最长公共子串的问题不同的地方是:子序列不需要在原序列中占用连续的位置。最长公共子序列问题是一个经典的计算机科学问题,也是数据比较程序,比如Diff工具,和生物信息学应用的基础。它也被广泛地应用在版本控制,比如Git用来调和文件之间的改变。
状态转移方程
如果产出的是最长公共子序列的长度,则方程为:
注意:上面状态转移方程中,最后的1是一个指示函数,表示如果a字符串第i个字符和b字符串第j个字符相同则为1,否则取0;
如果最终需要产出最长公共子序列的具体内容,则可以在动态规划的每一步骤保存当前LCS字符串,则最后一步产出的就是两个输入字符串的LCS。对应的状态转移方程也要适当变一下:
1. min(i, j) == 0时,lcs的取值从0改为空字符串;
2. 最后一行指示函数的值从1改为ai字符的内容。如下所示:
计算过程图解
假设要计算str_a = "abcdd" 和 str_b = "aacbd" 的最长公共子序列,则可以横向从左向右遍历(方便起见,单元格里记录的是lcs的长度,放lcs字符串的话写不下。。):
如图所示,按照状态转移方程,除了第一行和第一列之外的每个单元格,都只依赖其左、上、左上三个单元格的内容,所以每一行的计算只需要缓存当前横行和上一横行的内容即可。
代码实现
python实现代码如下:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #-*- encoding:utf-8 -*- 2 import sys 3 import pdb 4 5 6 def lcs(str_a, str_b): 7 """最长公共子序列 8 attributes: 9 str_a: 字符串a 10 str_b: 字符串b 11 return: 12 两个字符串的最长公共子序列内容 13 exception: 14 TypeError 15 """ 16 17 # 异常检测 18 if not isinstance(str_a, basestring) or not isinstance(str_b, basestring): 19 raise TypeError("Input must be string!") 20 21 # 定义lcs记录矩阵 22 matrix = [["" for j in range(len(str_b) + 1)] for i in range(len(str_a) + 1)] 23 24 for i in range(1, len(str_a) + 1): 25 for j in range(1, len(str_b) + 1): 26 sub_a = matrix[i - 1][j] # 上方单元格 27 sub_b = matrix[i][j - 1] # 左侧单元格 28 sub_a_b = matrix[i - 1][j - 1] \ 29 + (str_a[i - 1] if str_a[i - 1] == str_b[j - 1] else "") # 左上单元格 30 31 # 记录下最长的字符串 32 tmp_str = sub_a if len(sub_a) > len(sub_b) else sub_b 33 matrix[i][j] = tmp_str if len(tmp_str) > len(sub_a_b) else sub_a_b 34 35 return matrix[-1][-1] 36 37 38 def main(str_a, str_b): 39 ret = lcs(str_a, str_b) 40 print("lcs=%s, lcs_length=%s" % (ret, len(ret))) 41 42 43 if __name__ == '__main__': 44 main(sys.argv[1], sys.argv[2])
执行结果
[work@yq01-kg-saa-dev-general0.yq01.baidu.com longest_common_subsequence]$ python lcs_dp.py abcde acdebbbbbb
lcs=acde, lcs_length=4
空间复杂度优化后的代码。优化点有两个:
1. 只创建一个2行的记录矩阵,节省空间;
2. 记录矩阵的列选取相对短的字符串的长度
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #-*- encoding:utf-8 -*- 2 import sys 3 import pdb 4 5 6 def lcs(str_a, str_b): 7 """最长公共子序列 8 attributes: 9 str_a: 字符串a 10 str_b: 字符串b 11 return: 12 两个字符串的最长公共子序列内容 13 exception: 14 TypeError: 输入的不是字符串 15 """ 16 17 # 异常检测 18 if not isinstance(str_a, basestring) or not isinstance(str_b, basestring): 19 raise TypeError("Input must be string!") 20 21 # 让str_b为更短的字符串,这样空间复杂度能更小一些 22 if len(str_a) < len(str_b): 23 tmp = str_b 24 str_b = str_a 25 str_a = tmp 26 27 # 定义一个2 * (len(str_b)+1)的记录矩阵 28 matrix = [["" for j in range(len(str_b) + 1)] for i in range(2)] 29 curr_i = 1 30 31 for i in range(1, len(str_a) + 1): 32 for j in range(1, len(str_b) + 1): 33 sub_a = matrix[1 - curr_i][j] 34 sub_b = matrix[curr_i][j - 1] 35 sub_a_b = matrix[1 - curr_i][j - 1] \ 36 + (str_a[i - 1] if str_a[i - 1] == str_b[j - 1] else "") 37 38 # 记录下最长的字符串 39 tmp_str = sub_a if len(sub_a) > len(sub_b) else sub_b 40 matrix[curr_i][j] = tmp_str if len(tmp_str) > len(sub_a_b) else sub_a_b 41 curr_i = 1 - curr_i 42 43 return matrix[1 - curr_i][-1] 44 45 46 def main(str_a, str_b): 47 ret = lcs(str_a, str_b) 48 print("lcs=%s, lcs_length=%s" % (ret, len(ret))) 49 50 51 if __name__ == '__main__': 52 main(sys.argv[1], sys.argv[2])
执行结果
$ python lcs_dp_opt.py abcde acdeb
lcs=acde, lcs_length=4
复杂度分析
类比莱文斯坦距离的复杂度:
1. LCS的时间复杂度是O(m * n)
2. LCS的空间复杂度也是O(m * n),但同样也可以优化成O(2 * min(m, n)),即可以达到O(n)级别