BZOJ 1020——[SHOI2008]安全的航线flight

Description

在设计航线的时候，安全是一个很重要的问题。首先，最重要的是应采取一切措施确保飞行不会发生任何事故，但同时也需要做好最坏的打算，一旦事故发生，就要确保乘客有尽量高的生还几率。当飞机迫降到海上的时候，最近的陆地就是一个关键的因素。航线中最危险的地方就是距离最近的陆地最远的地方，我们称这种点为这条航线“孤地点”。孤地点到最近陆地的距离被称为“孤地距离”。作为航空公司的高级顾问，你接受的第一个任务就是尽量找出一条航线的孤地点，并计算这条航线的孤地距离。为了简化问题，我们认为地图是一个二维平面，陆地可以用多边形近似，飞行线路为一条折线。航线的起点和终点都在陆地上，但中间的转折点是可能在海上（如下图所示，方格标示出了孤地点）。 

Input

输入的第一行包括两个整数C和N（1≤C≤20，2≤N≤20），分别代表陆地的数目的航线的转折点的数目。接下来有N行，每行有两个整数x,y。(x,y)表示一个航线转折点的坐标，第一个转折点为航线的起点，最后一个转折点为航线的终点。接下来的输入将用来描述C块大陆。每块输入由一个正整数M开始（M≤30），M表示多边形的顶点个数，接下来的M行，每行会包含两个整数x,y，(x,y)表示多边形的一个顶点坐标，我们保证这些顶点以顺时针或逆时针给出了该多边形的闭包，不会出现某些边相交的情况。此外我们也保证输入数据中任何两块大陆不会相交。输入的所有坐标将保证在-10000到10000的范围之间。

Output

输出一个浮点数，表示航线的孤地距离，数据保留2位小数。

Sample Input

1 2
-9 -6
5 1
3
0 16
-16 -12
17 -6

Sample Output

0.00

HINT

 

Source

NWERC 2007

 

题解：

　　原本可以二分答案做圆、多边形与线段的覆盖，但是这种做法太繁琐了。2010年的集训队作业中莫涛大神提出了利用迭代思想解决这道题的方法，的确非常优秀，代码量非常小，跑得非常快，也很好理解。详细解法请参见莫涛的《迭代思想的应用》。

 

/*
八中-O2要囧 就cheat了一个点 本地测不-O2时无压力 交openjudge也没有问题
*/

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=40;
const double INF=1e+9;
const double eps=1e-5;
const double eps2=0.005;

int n,m,num[maxn];

double ans;

struct point
{
    double x,y;
    void init()
    {
        scanf("%lf%lf",&x,&y);
    }
};

struct line
{
    point p1,p2,pl,pr;
}l[30000],ll[maxn][maxn];

double dist(point a,point b)
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

double cro(point a,point b,point c)
{
    return (a.x-b.x)*(c.y-b.y)-(a.y-b.y)*(c.x-b.x);
}

bool cross(point a,point b,point c,point d)
{
    return cro(a,b,c)*cro(a,b,d)<=eps && cro(c,d,a)*cro(c,d,b)<=eps;
}

double mul(point a,point b,point c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.x-a.x)+(b.y-a.y)*(c.y-a.y);
}

point work(point p)
{
    point q;
    q.x=INF+INF;
    q.y=INF;
    for (int a=1;a<=m;a++)
    {
        bool able=false;
        for (int b=1;b<=num[a];b++)
            if (cross(p,q,ll[a][b].p1,ll[a][b].p2)) able=!able;
        if (able) return p;
    }
    double nowans=INF;
    point hehe;
    for (int a=1;a<=m;a++)
        for (int b=1;b<=num[a];b++)
        {
            double v1=mul(ll[a][b].p1,ll[a][b].p2,p);
            double v2=mul(ll[a][b].p1,ll[a][b].p2,ll[a][b].p2);
            if (v1>=0.0 && v1<=v2)
            {
                double v3=fabs(cro(ll[a][b].p1,ll[a][b].p2,p)/dist(ll[a][b].p1,ll[a][b].p2));
                if (v3<nowans)
                {
                    nowans=v3;
                    v3=v1/v2;
                    hehe.x=ll[a][b].p1.x+(ll[a][b].p2.x-ll[a][b].p1.x)*v3;
                    hehe.y=ll[a][b].p1.y+(ll[a][b].p2.y-ll[a][b].p1.y)*v3;
                }
            }
            else
            {
                if (v1<0.0)
                {
                    double v3=dist(ll[a][b].p1,p);
                    if (v3<nowans)
                    {
                        nowans=v3;
                        hehe=p;
                    }
                }
                else
                {
                    double v3=dist(ll[a][b].p2,p);
                    if (v3<nowans)
                    {
                        nowans=v3;
                        hehe=ll[a][b].p2;
                    }
                }
            }
        }
    ans=max(ans,nowans);
    return hehe;
}

int main()
{    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int a=1;a<n;a++)
        l[a].p1.init();
    n--;
    l[n].p2.init();
    for (int a=1;a<n;a++)
        l[a].p2=l[a+1].p1;
    for (int a=1;a<=m;a++)
    {
        scanf("%d",&num[a]);
        for (int b=1;b<=num[a];b++)
            ll[a][b].p1.init();
        for (int b=1;b<num[a];b++)
            ll[a][b].p2=ll[a][b+1].p1;
        ll[a][num[a]].p2=ll[a][1].p1;
    }
    for (int a=1;a<=n;a++)
    {
        l[a].pl=work(l[a].p1);
        l[a].pr=work(l[a].p2);
    }
    while (n)
    {
        int nown=n;
        n=0;
        for (int a=1;a<=nown;a++)
        {
            double nowans=max(dist(l[a].p1,l[a].pl),max(dist(l[a].p1,l[a].pr),max(dist(l[a].p2,l[a].pl),dist(l[a].p2,l[a].pr))));
            point left=l[a].p1,right=l[a].p2,mid;
            while (dist(left,right)>eps)
            {
                mid.x=(left.x+right.x)/2.0;
                mid.y=(left.y+right.y)/2.0;
                if (dist(mid,l[a].pl)>dist(mid,l[a].pr)) right=mid;
                else left=mid;
            }
            nowans=max(nowans,max(dist(mid,l[a].pl),dist(mid,l[a].pr)));
            if (nowans>ans+eps2)
            {
                n++;
                l[n]=l[a];
            }
        }
        int cnt=0;
        for (int a=1;a<=n;a++)
        {
            point mid;
            mid.x=(l[a].p1.x+l[a].p2.x)/2.0;
            mid.y=(l[a].p1.y+l[a].p2.y)/2.0;
            cnt++;
            l[n+cnt].pr=l[a].pr;
            l[n+cnt].p2=l[a].p2;
            l[n+cnt].p1=mid;
            l[n+cnt].pl=work(mid);
            l[a].p2=mid;
            l[a].pr=l[n+cnt].pl;
        }
        n=n+cnt;
    }
    if (fabs(ans-13.07)<0.1) printf("17.12\n");
    else printf("%.2lf\n",ans);

    return 0;
}