群论

定义

对于集合$G$和二元运算$\ast$，若满足以下四个性质，则$(G,\ast )$为群

1、封闭性：$\mathrm{\forall }a,b\in G,a\ast b\in G$

2、结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$

3、单位元：存在 $ e\in G,\forall a\in G,ae=ea=a$

4、逆元：$\mathrm{\forall }a\in G,$都有$a^{\prime }\in G,a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e$

阶

群的阶：即$G$中元素个数，表示为$|G|$或$ord(G)$

元素的阶：使得$a^m=e$的最小整数$m$，表示为$ord(a)$

子群

对于群$(G,\ast )$，若$H\subseteq G$，$(H,\ast )$也是群，则$(H,\ast )$为$(G,\ast )$的子群

阿贝尔群

满足交换律的群

循环群

对于群$(G,\ast )$，存在$g\in G$，使得$G=\{g^k|k\in Z\}$，则$(G,\ast )$为循环群,$g$为群的生成元

性质

1、所有循环群都是阿贝尔群

2、对于$a\in G$，$H=\{a^k|k\in Z\}$，对于这样的群$(H,\ast )$

都是循环群，$a$为该群的生成元

都是$(G,\ast )$的子群，且$(G,\ast )$的子群都为该形式

$ord(H)=ord(a)$

3、对于$g$生成的$n$阶有限循环群$(G,\ast )$，$ord(g^k)=\frac{n}{gcd(n,k)}$，生成元个数为$\phi (n)$

证明：由阶的定义，$e=g^{k\cdot ord(g^k)}=g^n$，则$n\mid k\cdot ord(g^k)$，即$\frac{n}{gcd(k,n)}\mid \frac{k}{gcd(k,n)}\cdot ord(g^k)$，此时$\frac{n}{gcd(k,n)}\perp \frac{k}{gcd(k,n)}$，则$ord(g^k)$为$\frac{n}{gcd(k,n)}$的倍数且最小，则$ord(g^k)=\frac{n}{gcd(n,k)}$

对于$g^k\in G$，它为$G$的生成元的充要条件为$ord(g^k)=\frac{n}{gcd(n,k)}=n$，则$gcd(k,n)=1$，则$k$的数量为$\phi (n)$

置换群

拉格朗日定理