多项式

多项式的表示

系数表示法

即$F(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+...+a_n{x}^n$

点值表示法

一个$n$次多项式可以被$n+1$个点唯一确定

可以用这$n+1$个点表示该多项式

多项式卷积

$$(f\ast g)(x)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j{x}^{i+j}$$

说白了就是暴力展开

快速傅里叶变换（FFT）

单位根

对于复数$\omega$满足${\omega }^n=1$，则称$\omega $\mathrm{为}$n$次单位根

对应为复平面上平分单位圆的$n$个单位向量

可用复数的三角表示构成，也可用欧拉公式

性质

1、${\omega }_n^k={\omega }_{2n}^{2k}$

2、${\omega }_n^k=-{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}$

3、${\omega }_n^0={\omega }_n^n=1$

对应到复平面很好理解

DFT离散快速傅里叶变化

即把多项式用$n$次单位根转成点值表示法

对于多项式$F(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$，$n$为$2^p$

奇偶分项：$F(x)=a_0{x}^0+a_2{x}^2+...+a_{n-2}{x}^{n-2}+x(a_1{x}^0+a_3{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-2})$

设多项式$G(x)=a_0{x}^0+a_2{x}^1+...+a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1},H(x)=a_1{x}^0+a_3{x}^1+...+a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1}$

则有$F(x)=G(x^2)+x\cdot H(x^2)$

设$1\le k<\frac{n}{2}$，将单位根${\omega }_n^k$和${\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}$带入，则

$$F({\omega }_n^k)=G(({\omega }_n^k{)}^2)+{\omega }_n^k\cdot H(({\omega }_n^k{)}^2)$$

$$=G({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k\cdot H({\omega }_n^{2k})$$

$$=G({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)+{\omega }_n^k\cdot H({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$$

$$F({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=G(({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{)}^2)+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}\cdot H(({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{)}^2)$$

$$=G({\omega }_n^{2k+n})+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}\cdot H({\omega }_n^{2k+n})$$

$$=G({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k\cdot H({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)$$

对$G,H$递归求出各自的点值表示$({\omega }_{\frac{n}{2}}^1,{\omega }_{\frac{n}{2}}^2,...,{\omega }_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2}-1})$，就可以$O(n)$得到$F$的点值表示

IDFT快速傅里叶逆变换

即把单位根全部取倒数跑一边DFT，得到每个数除以$n$，可得到新的多项式

迭代FFT

（待补充）

快速数论变换（NTT）

求$[x^i](f\ast g)(x)modp$

简单来说就是把单位根换成原根

原根的性质：

1、对于质数$p$的原根$g$，$g^1,g^2,...g^{p-1}$互不相同

2、单位根的三个性质都有

因此，可以进行模意义下的DFT和IDFT

原根的使用

类比单位根，我们可以认为$g^1,g^2,...g^{p-1}$这$p-1$个数把单位圆均分成$p-1$份，可以通过均等间隔选点来改变切割份数，也就是说，如果想用$g^i$代替${\omega }_n^k$，就必须满足$p-1$为$n$的整数倍

$998244353=7\ast 17\ast 2^{23}+1,g=3$，$2^{23}$一般可以满足分治需求的份数

任意模数下NTT（MTT）

多项式的运算

多项式求逆

求多项式$G(x)$，使得$F(x)\ast G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^n)$

这里的模运算其实是砍掉$x^n$及以后的项

利用倍增求解：

设$H(x)$满足$F(x)\ast H(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

且易知$F(x)\ast G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

则有$F(x)\ast (G(x)-H(x))\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

$G(x)-H(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

$(G(x)-H(x){)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

$G(x{)}^2-2G(x)H(x)+H(x{)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$

$G(x{)}^2-2G(x)H(x)+H(x{)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n){}^{\ast }$

乘上$F(x)$，根据$F(x)\ast G(x)\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^n)$：

$G(x)-2H(x)+F(x)H(x{)}^2\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$

$G(x)\equiv 2H(x)-F(x)H(x{)}^2(\mathrm{mod}{x}^n)$

细节

注意生成$G(x)=2H(x)-F(x)\ast H^2(x)$时，要把$G(x)$的$0\sim 2^p-1$次项全部算出来（而不是只算前$n$项）

因为在系数-点值表示相互转换时，各项都是互相依赖的（唯一地表示一个多项式），只做一点会导致多项式不正确

多项式求ln

多项式求exp

多项式开根

生成函数

拉格朗日插值

定义

我们知道，$n$个点可以唯一确定一个$n-1$次多项式（如三点确定一个二次函数）

那么拉格朗日插值就是根据这个原理形成的多项式表示法

对于$n$个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，有

$$F(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j=1}^{n,j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

利用该插值表示法，可以绕过求系数表示法，$O(n^2)$求出$F(x)$

编号连续的插值

若$x_i=i$，及$x$为$[1,n]$，则有

$$F(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j=1}^{n,j\ne i}\frac{x-j}{i-j}$$

发现该式分子分母分别整合得到：

$$F(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\frac{\prod _{j=1}^n(x-j)}{(x-i)\cdot (-1{)}^{n-i}\cdot (i-1)!\cdot (n-i)!}$$

通过预处理阶乘逆元$facinv[]$数组和$\prod _{j=1}^n(x-j)$，可以将时间复杂度降至$O(nlogn)$（再预处理$(x-i{)}^{-1}$可以达到$O(n)$）

拉插优化DP

原理：$n$次多项式求前缀和后为$n+1$次多项式，即$F_{n+1}(n)=[F_n(1),F_n(1)+F_n(2),...,\sum _{i=1}^n{F}_n(i),...]$

（详见题解）

所以对于满足状态$f[]$为多项式的DP，可以通过拉插来求出多项式

The Sum of the k-th Powers

经典模型：
$\sum _{i=1}^n{i}^k$

差分发现为$n$次多项式，故答案为$n+1$次多项式，拉插即可

P3643 [APIO2016] 划艇

设$f[i][j]$为学校$i$派$j$艘划艇，列出方程：

$$f[i][j]=\{\begin{array}{l}\sum _{k=1}^i\sum _{l=1}^{j}f[k][l],l\le j\le r\\ 0,\text{otherwise}\end{array}$$

前缀和：

$$f[i][j]=\{\begin{array}{l}\sum _{k=1}^j[i-1][k],l\le j\le r\\ f[i-1][j],\text{otherwise}\end{array}$$

由于$i=1$时，$f[i][j]=1$，为$0$次多项式，则$f[i][j]$也是多项式

又注意到$l,r$范围很大，考虑离散化

但是离散化之后，原数列被分成若干段，且每段状态不一（如$f[1][]$会有$0/1$），不能用一个多项式表示，但是每段状态是一样的，可以用一个多项式表示

于是引出分段多项式做法：每一段维护一个多项式，总时间复杂度$O(n^3)$

p.s. 题解普遍用的是组合数，可以试试

p.s.s. 拉插优化DP要注意常数优化