树分治

点分治

思想

回想序列分治的做法：递归统计两个区间，在统计跨两个区间的贡献

对应到树上也类似：找一个分割点，统计子树的贡献，再统计跨子树的贡献

由于路径都可以被某一级重心统计到，所以点分治长于做路径统计问题

找树的中心

树的中心：以它为根时的最大子树最小的点

处理方式：开全局变量$maxsiz$，dfs找出每棵子树的大小（父亲的子树大小用$sum-\sum siz[v]$计算）

目的：使每次分割的子树尽量小

流程

1、找到树的中心；

2、统计子树中和该点有关的量；

3、删除该点，分裂出若干棵树，对每棵树做一遍点分治；

为什么时间复杂度是$O(n\log n)$？

对每棵树处理次数为$n,si{z}_1,si{z}_2,...,si{z}_k$

总和为$n+\frac{n}{p_1}+\frac{n}{p_2}+...+\frac{n}{p_k}$

大约和调和级数同阶，所以为$O(n\log n)$

P6626 [省选联考 2020 B 卷] 消息传递

点分治模板题

开桶，对子树内点，用桶统计子树外（过树的中心）贡献，对中心，直接统计子树贡献

进子树前记得去掉该子树的贡献

由于每个点都会成为中心，可以统计完全

P5984 [PA2019]Podatki drogowe

拼凑型题目，对于熟悉的人来说没有难处

1、路径第$k$大：二分答案+点分治计数

2、大数比较：主席树+哈希

3、发现值域过大，考虑在路径集内二分

4、发现路径集找权值中位数比较困难，考虑随机找一条权值在$l,r$之内的路径来做（随机二分）

5、

点分树

带修改的点分治，支持在线

点分治过程中，上一级重心向下一级连边，形成一棵有根树

性质：

1、树高$O(\log n)$，一些看似暴力的东西也可以直接存（如每个点存储该子树全部信息，这是$O(n\log n)$的）

2、在点分上，$LCA(x,y)$一定在原树中$x,y$的路径上

P6329 【模板】点分树 | 震波

对每个点开深度线段树存子树权值，暴力跳$fa[]$统计即可

对于要刨掉的$x$所属子树$p$，再开一棵线段树维护子树$p$到$fa[p]$的距离

边分治

把重心换成边即可，记得单点度数过大时要拆点

P4565 [CTSC2018]暴力写挂

一个常见思路：多树统计，用虚树DP

路径问题，考虑点分治或边分治，这里使用边分治

统计左子树和右子树之间的最大权，发现原树的$depth(LCA(x,y))$不好处理，考虑对贡献进行转化

${\displaystyle depth(x)+depth(y)-(depth(LCA(x,y)+dept{h}^{\prime }(LC{A}^{\prime }(x,y)))}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\ast dist(x,y)+\frac{1}{2}\ast (dep(x)+dep(y))-dept{h}^{\prime }(LC{A}^{\prime }(x,y))}$

此时，原树的贡献可以完全放入$x,y$两个点内（${\displaystyle \frac{1}{2}\ast (dis[x]+dep[x])}$），将它们挂到虚树上，DP可得答案

时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$

细节

1、为什么不用点分治？

点分治会产生若干棵子树，虚树DP很难$O(n)$解决

2、建虚树时存的$lca$，不要算它的权值

3、猜猜我调了3h+，发现问题在哪，原来是$fa[N][20]$倍增数组开小了啊，我tm真是个sb