决策单调优化动态规划

四边形不等式

决策单调

即对于dp方程$f[i]=min/max(f[j]+w(j+1,i))$，设$f[i]$从$pre[i]$转移，有$\mathrm{\forall }i>j,pre[i]\le pre[j]$

写出$pre[]$就是大概这种效果：

111111224444444446666

可以观察到决策单增，那么对于有序表，可以想到利用二分或分治等$O(logn)$的算法来优化转移，从而达到$O(nlogn)$的时间复杂度

一个重要的证明决策单调的方法就是四边形不等式

（当然，考场上可以感性分析或打个表）

二分+栈

由于决策单调，故相同决策点都是相连的，可以通过二分+栈来维护这些区间

我们反向考虑：分析一个点$i$最多能更新到那些点，顺序枚举$i$

那么就在二分找第一个从$i$转移能够最优的点，往后的区间都是以$i$转移为优

当然，如果区间$i$完全覆盖了前面的某个区间$j$（在$j$左端点仍是决策$i$更优），就从栈中弹出$j$

注意：这种方法要求转移要高效，即w(j,i)要支持预处理或本身较快

分治

挺新的思路

由于决策单调，$pre[i]$随$i$单调而单调，用类二分的思路

设$Solve(l,r,sl,sr,k)$为划分第k段，当前处理$f[l]$~$f[r]$，它们可能从$f[sl]$~$f[sr]$转移

取区间$mid$，如果$f[mid]$从$f[sm]$转移，那么$f[l]$~$f[mid]$就是从$f[sl]$~$f[sm]$转移，$f[mid]$~$f[r]$就是从$f[sm]$~$f[sr]$转移

出现子问题，支持分治

分治的一个优势在于：贡献区间连续（从$[sl,sr]$到$[sl,sm]$，$[sm,sr]$），这意味着即使贡献难以预处理，也可以通过莫队优化，使得贡献计算时间正确