二维动态规划

在二维动态规划中，往往会有两个维度上的限制，此时，可以通过加维、换状态、改变枚举顺序来实现消除这两个维度的限制，但有时，往往需要分析

[P5664] Emiya 家今天的饭

分析题目，易知烹饪方法可以通过顺序枚举取消后效性，而主要食材加维、换序都不行，考虑别的道路

反向考虑，容斥原理

当正向思路受到阻塞时，可以尝试逆向思考

观察限制：每种主要食材至多在一半的菜中

反向考虑时，发现不合法方案中，在一半以上的菜中的主要食材只会有一种（不可能有两个一半以上），此时我们需要维护的只有该主要食材的状态，加维即可

设$f[i][j][k][l]$为第i种主要食材非法，取到第j种方法，该食材取了k个，其他取了l个的方案数（自己推方程）

剪枝优化

推出上面的方程发现是$O(m{n}^3)$的

观察方程:

（转移方程自己推）

$$ans=\sum _{i=1}^m\sum _{k=0}^n\sum _{l=0}^{k-1}f[i][n][k][l]$$

首先，对于$f[i][j][][]$，$k,l$取值不会影响转移方程

其次，最后取得答案皆为$k>l$

因此，我们可以把k和l的差值相同的状态压到一起，通过取$k-l>0$的状态统计答案

如何证明正确性？

1、由于转移方程相同，可以保证状态的正确转移，只要初始化时塞一起，就是正确的；

2、差值可以描述全部状态；

3、取出答案时，因为$k-l>0$保证了它就是非法情况，统计正确；

注意k,l不能为总菜数、该食材菜数，此时用差值维护的话不一定全都非法（如差值3可以是4-1），可能会有式子使得它能够统计，但是像差值这么简单的大概没有罢（

总结

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思维强度太高了

$Update:2023.3.28$

写出来力，但是处理差分负权时把边界$[1,2n]$写成$[1,2m]$了……

总之，容斥和压缩都是常见方法，标蓝很合理

[P2051] [AHOI2009] 中国象棋

题意：每行每列不超过2个棋，求方案数

行内元素$a[i][j]$过于一般，没有什么吸引人的特殊性质（因为没有值，大家都长得一样，甚至支持列之间交换），而且每行只能有2个，联想状压，所以考虑整行作状态

此时第一维限制处理掉了，第二维考虑加维

看到列支持交换，一个思路是将列有序化再组合，另一个思路是将列的整体性质记录

记录有几列取了0个/1个/2个即可，状态完全，支持转移