随笔分类 -  图论

图论中的代数定理
摘要：常用于图论计数 Matrix-Tree定理 BEST定理 LGV引理 P7736 [NOI2021] 路径交点 说是LGV引理的模板 LGV引理 DAG上，从长度为n的集合A到B的不交路径数，发现和LGV很像（注意这里的不交是指不过同一结点） 又看到“偶数个交点的方案数-奇数 阅读全文
posted @ 2024-11-11 11:18 Zhone_lb 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑
虚树
摘要：建立虚树 先把关键点按dfn升序排序，单调栈维护树上一条链（dfn单增），初始为根节点1 逐个考虑关键点x： 设lca=LCA(x,st[top])，分类讨论： ①若lca=st[top]，表明x和\(st[ 阅读全文
posted @ 2024-11-11 10:48 Zhone_lb 阅读(5) 评论(0) 推荐(0) 编辑
圆方树
摘要：前置知识：点双连通分量 定义 圆方树：对于一个点双内的点，拆除点之间所有相连的边，并和一个代表该点双的点连边 圆点为原图中的点，方点代表一个点双 圆方树有狭义和广义两种 狭义圆方树不把“杠铃形”当作点双，有圆圆边 广义圆方树把“杠铃形”当作点双，只有圆方边 狭义圆方树是解决仙人掌问题的利器，详见li 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:24 Zhone_lb 阅读(8) 评论(0) 推荐(0) 编辑
欧拉路径 & 欧拉回路
摘要：欧拉路径 代码 细节较多 link 欧拉回路 中国邮递员问题 求从点s出发，遍历所有边，最后回到s的最短路线 考虑回路的性质：每个点的度都为偶数 那么只需要求将奇度点两两配对的最小代价即可 （算法？ P6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路 把起点和终点连一条边，则转化为 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:23 Zhone_lb 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑
网络流
摘要：网络最大流 EK Dinic+当前弧+剪枝 Dinic：BFS分层，每次只向下一层流 当前弧：流完的边删掉 剪枝：流完的点删掉 细节 ∗加反边时反边容量为0，价值取反，不要搞混了（已经搞错3次了） 剪枝优化尽量不用，如果一定要用的话，注意u→v 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:19 Zhone_lb 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑
2-SAT问题
摘要：2-SAT 拓扑逆序的正确性 反证：设(x,¬x)有tpn[x]>tpn[¬x]，(y,¬y)有tpn[y]<tpn[¬y]，x,y∈scc[k]，取x与之前取¬y决策矛盾 即\(x \leftr 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:15 Zhone_lb 阅读(3) 评论(0) 推荐(0) 编辑
tarjan算法
摘要：强连通分量 细节 对于多点跑tarjan来说，可能会有先访问u→v中的v，这导致dfn[v]<dfn[x]，后面x跑tarjan时会误把v当成祖先，要加判断 割点 & 割边 删去后使图不连通的点/边 找割边和强连通分量求法大差不差，这里不再赘述 找割点不 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:12 Zhone_lb 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑
树分治
摘要：点分治 思想 回想序列分治的做法：递归统计两个区间，在统计跨两个区间的贡献 对应到树上也类似：找一个分割点，统计子树的贡献，再统计跨子树的贡献 由于路径都可以被某一级重心统计到，所以点分治长于做路径统计问题 找树的中心 树的中心：以它为根时的最大子树最小的点 处理方式：开全局变量maxsiz 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:09 Zhone_lb 阅读(3) 评论(0) 推荐(0) 编辑
二分图
摘要：二分图染色判定 二分图最大匹配 性质 匹配必须点：即所有最大匹配中都匹配的点（删除该点最大匹配数有变） 非匹配必须点：同理 关于必须点与非必须点的性质： 1、与非必须点相连的点一定是必须点 易证，若为非必须点，则这两点可以相配，不符合最大匹配定义 2、未匹配点一定是非必须点 通过DFS可以在已知最大 阅读全文
posted @ 2024-11-02 17:01 Zhone_lb 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑
图论好题
摘要：[P5304] 旅行者 集合最短路+二进制拆分 集合最短路 求一个集合S中的点，到任意一个集合T中点的最短路 建立超级源点连S、超级汇点连T即可 二进制拆分 两遍dijkstra染色 [P3953] 逛公园 搜索 考虑搜索出全部合法路径 易想到记录rdis[i]为i−>n的最短路来剪 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:29 Zhone_lb 阅读(3) 评论(0) 推荐(0) 编辑
优化建图
摘要：分层图 例1 [P4568] 飞行路线 分层图模板题 给定一张图，你有k次机会将一条边修改权值为0，问最短路 k较小时，可以用分层图解决 例2 [P1266] 速度限制 注意到n，v比较小，考虑分成v层图，但是时间空间会炸 发现每一层对于边u->v的转移相同，考虑只分节点，共用边，即开dis数组开第 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:28 Zhone_lb 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑
生成树
摘要：Prim Kruscal Kruscal重构树 由于Kruscal重构树是二叉堆，且瓶颈路最大值在LCA上，可以进行一些树上操作（主席树、树上倍增等） （看看这篇） P4768 [NOI2018] 归程 要求v所在海拔高于p的连通块到结点1的最短路，易知尽量走海拔高的边连通块 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:23 Zhone_lb 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑
差分约束算法
摘要：[P5960]【模板】差分约束算法 给出一组包含 m 个不等式，有 n 个未知数的形如： \[\begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\leq y_1 \x_{c_2}-x_{c'_2} \leq y_2 \ \cdots\ x_{c_m} - x_{c'_ 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:22 Zhone_lb 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑
最短路
摘要：Floyd算法 BFS求01最短路 题目链接 对于边权只有0和1的图，可以用BFS+deque求最短路 具体做法：前端队列存由0边更新的点，后端存由1更新的点，每次松弛从前端取 比较好想，由于是BFS，可以认为本层转移下，0边转移的点dis都相等，1边转移的点dis都相等（不一定正确），那么从前面取 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:21 Zhone_lb 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑
拓扑排序
摘要：拓扑序 1、在做DAG DP时，按拓扑序转移，状态可转移完全 2、从拓扑序小的点连向拓扑序大的点，一定不会成环 3、统计结点x可以到达的点数（待解决） Directing Edges 根据性质2，对有向边构成的图跑拓扑，拓扑序小的连向大的即可 正确性由性质2易知，待证明 P3953 [NOI 阅读全文
posted @ 2024-10-31 17:19 Zhone_lb 阅读(7) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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